BOOK 5 10.08.P755 V.3 cl POINCARE » OEUVRES DE HENRI POINCARE

3 1153 a012bl3T 7

ŒUVRES

HENRI POINCARÉ

PARIS. — IMPRIMERIli GAUT H I ER-V ! LLA RS

Quai des Grands-Auguslins, 55.

84505- .■Î4

ŒUVRES

DE

HENRI POINCARÉ

PUBLIEES

SOUS LES AUSPICES DE L'ACADEMIE DES SCIENCES

PAR

LA SECTION DE GÉOMÉTRIE

TOME III

PUBLIE AVEC L\ COLLABORATION

IULES DRACH

MEMBRE Dl^ I. ACADI^MIE DBS SCIENCES

PARIS

GAUTHIER-VILLARS, ÉDITEUR

LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE Quai des Grands-Augustiiis, 55

1934

Tous (.li'oils de Lraduclion, de reproduction cl d'adapUtion réservés pour tous pays.

sun

UN THÉORÈME DE M. FUCHS

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 09. p. ~3-~'i (iJ juillet i884).

M, Fiichs a présenté dtrnièrfmfnl à l'Académie de Berlin un travail où il étudie les conditions pour que les intégrales d'une équation différentielle algé- brique n'aient qu'un nombre fini de points singuliers qui soient les mêmes pour toutes les intégrales. On coni(irend aisément quel intérêt il y a à rechercher s'il existe de pareilles équations et à les former, si elles existent. En efiél. les pro- cédés qui permettent d'intégrer les équations linéaires par le niojen des fonc- tions fuchsiennes leur seraient ap|]licables, et l'on serait ainsi conduit à une classe nouvelle d'équations différentielles intégrables à l'aide des nouvelles transcendantes.

M. Fuchs donne, pour les équations du premier ordre, les conditions nécessaires et suffisantes pour que le nombre des points singuliers des inté- grales soit fini. Il commence ensuite une discussion à laquelle je voudrais ajouter quelques remarques. Si l'on met l'équation sous la foinie

(■)

'^(^•^'*j = "-

et si l'on regarde un instant La variable indépendante ; comme une constante, la relation algébrique entre )■ et -^ aura un certain genre que j'appelle p.

Dans le cas où j) = o, M. Fuchs montre que l'équation se ramène à celle de Riccali, et [lar conséquent aux équations linéaires. Je n'ai rien à ajouter sur ce cas.

Si l'on a jo = I , M. Fuchs montre que l'équation peut se ramener à la forme

dt tl. I'. — III.

{■?■) ;jz. = A„+A,/H- AW^^- Asv'Ht/),

1 SIR TN THEORKME DE M. KUCHS.

OÙ les A sont des fonctions de ; et où R est un polynôme du quatrième degré eu t dont les coefficients sont des fonctions de ; et qui satisfait à une relation

(3) V ^ -77*-^"-^ '^i' \,/-i--=i B„+ H,nR

ilz fit

|où B„ et B| sont des fonctions de r. |.

Il est possible de simplifier encore cette équation, l'osons, en efl'et,

/ = *; 7

a, p. y et 0 étant des fonctions de ;; les équations (3) et (3), où / sera remplacé par H, conserveront la même forme; mais on aura pu choisir y., {j, / et o de telle façon que le nouveau polynôme R,

C étant une fonction de r. Les équations (2) et (3) d<'vi('nnenl alors

fhi - ,H\

ilz '/:

ce quL monlre que C, et |>ar cmisiquent le uuiduli' des fonctions elliplii|i:es dérivées du radical \ R', sont des constantes absolues indépendantes de :. L'intéjjration de ces équations se ramène à île simples quiidratures.

On piut d'ailleurs jirriver au luèinr r<sultat et poursui\ri' la discussion pour le cas dey) > I, par le moyen suivant.

Soient )„ et y\^ les valeurs d'uni' intéf;rali' )■ et de sa dérivée -._ pour r^r,, ; soient )•, et c, les valeurs de cette même inlécrrale )■ et de sa dérivée pour : = :,; il est aisi' de voir que ii l'I ) , smit des fonctions rationnellrs de 1 0 et )i|, et réci|H-oqiieni<;nt. Ainsi Irs deux surfaces de Riemann

(Si) ^'( = ">'-È) = "' ■

où :■(, et ;i sont reo^ardés comme des constanlrs, et où les \ariables sont v et

'/V

ont non si'Tileuirnt même genre, mais encore mêmes modules. Les modules rie la siirj'aci- de Riemann irpirsciilée par l'èqualion (i) sonl donc constants et indépendants de z.

Cela posé, ou bien la surface S, ne pourra dériver de la surface S„ par une transformation biralionnelle que d'un nombre fini de manières; dans ce cas, ou

(

(lll

SIR IN IIIKCIIIKMK DR M. ITirilS. i

pimri'a déliTininer ces iransloriiialloas, et par conséquent Tint ■i;ralp générale le l'équation (i) par des procédés purement al<;ébri(pies ; celle intégrale sera

ne algcbritiiie ; on bien les deux surlaces pourront dériver l'une de l'autre par une inlinité de transformations birationnelles, ce qui signilie que l'une d'elles, S|| par exemple, sera reproduite par une infinité de pareilles transfor- mations. Mais cela ne peut janiiiis avoir lieu si /) > i . Dans le cas de p = i , on retrouverait d'ailleLiis aiscmeni le résultai énoncé plus liaul.

En résume, on peut tirer du beau lliéorème de M. Fuchs les conséquences suivantes, en lais-ant de côté le cas de p = o, complètement traité par le savant géomètre de Berlin. *

Si les conditiiiiis énoncées pnv M. /'^iir/is sont remplies pour une équa- tion du premier ardre, el si y> =: i , Vérjuaiion est intéf^rahle par qiiadra- I lires. .S'/yj>-i, l'inlèn-rale est alffébrir/iie.

Il sérail inléressant de recliercher si, dans le cas des équations d'ordre supérieur, on arrive à des théorèmes analogues, ou si, au contraux', on est conduit à une classe essentiellement nouvelle d'équations intégrables par les fonctions fuchsiennes.

SUR

UN THËORKME DE M. FUCHS

Acia mat/iematica. t. 7. p. i-'îa (iS8ô).

Les équations diirérentielles linéaires jouisscuL dune propriété remarquable : les points singuliers sont les mêmes pour toutes les intégrales. C'est ainsi i|ue pour les équations dont les coefficients sont des polvnomes entiers en .v, les points singuliers sont les valeurs de x qui annulent le premier coeflicient. C'est sur cette circonstance qu'est fondée la méthode dintégralion de ces écpiations par les fonctions zétafuchsiennes.

Les équations non linéiiires ne jouissent pus. du moins en j:;énér;il. de In même propriété. Ainsi l'équation très simple

i/.r -i- J' ily = 11

./• il.r

a jiour intégrale générale

y= V

c éliinl une constante d'intégration. Et les points singuliers a; = ± c dépendent de cette constante et ne sont par ronséquent pas les mêmes pour toutes les intégrales.

On est ainsi conduit à reehercix'r s'il existe, en dehors des ('quations linéaires, d'autres classes d'équations dillérontielles dont toutes les intégrales particulières aient les mêmes points singuliers. C'est ce problème que M. Fuchs a très élégamment résolu dans un Mémoire intitulé : Ueber Diffcrcnlialglei- chungen dercn Intt; g raie j'este l'erziveigimgspiinlitr besitzeti et inséré aux Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin (séance du ^>G juin i884)-

,Ie rappelle succinctement les notations employées par le savant géomètre de Berlin et les résultats qu'il a obtenus.

(') Impvinié le ii fcviirr i^^Si.

Sllll CN TIIKOREMIÎ DE M. |-l'f:llS. 5

M. FiKjhs considère une équation du |)retnier ordre

(A) FÙ-. ,1-. ,|-'V^ o,

où ; est la variable indépendante et l' la dérivéi' -fj-- el dont le premier membre

esl un polynôme entier en )• et en )', avant pour coefficients des fonctions ijitcjiiinqiip.s de ;.

Si l'on considère un instant ; comme une constante, lèquation (A) devient une relation algébrique entre ) el )'. On appelle ji le i;('nre de celte relation.

L'équation

esl celle que l'on obtient en éliminant ) ' entre l'équation (A) et la suivante

( P. i -T-. = O.

M. Fnclis arrive d'abord à un résultai général qu'il énonce ainsi :

« Die nothwendigen nnd liinreichenden Bedingungen dafiir, dass die Inle- grale der(ileichung(A) feste, sich nichlmit den Ànderungen der Anfangswerlhe stelig verseliiebende Verzvveigungspunkte besitzen, sind die folgenden.

» I. Die ( lleieliuni; ( A ) liai die Form

I F ) y'"' + 'i I .k'"'-' -:- '^zy'"'-' -h . . . + ■l',,, = o.

worin i];,, i^, . . . , ■h,,, ganze rationale Fnnclionen von )• mil von c abhangigen Coefficienlen von der Beschaffenlieilbedenlen, dass tj/j Inichslens vom Grade 2/. in Bezug anf >- isl.

» 2. Isl )■ = /y eine \\ urzel der Discriminanlengleicliung (C) fiir weklie die ilurcli (F)defînirle algebraische Function y von )• sich verzweigl so ist r, ein Intégral der Gleichung (F). In der )•' als algebraische F\inction von y dars- tellenden Riemann'scben Fliiche hal )' in siimmlliclien iiber r = "'7 liegenden Verzweigungsslelien dén Wcrlh 1' = Ç =; -p-

» o. Je y. Bliitterit, welche sicli in )- = r,, )'=?= 73 verzweigen, entspre- clien mindeslens y. — 1 mil )• = rj zusamuienfallende Wurzeln der Gleichung

F(3..i% r^ = o

niit der Unbekannten

)•- »

6 SIR IN TIIBORÉME DIC M. FI CHS.

En d'autres termes, Féqualion (A) devra satisfaire aux conditions suivantes :

1° La fonction )•' définie par cellu équation ne pourra devenir infinie que lorsque )■ sera lui-mènie infini, (lU pour certaines valeurs particulières de ;. 2° Si l'on Tiose )i = -> y', r= -—-, reiiuation (A) deviendra

) 'i ne devra pouvoir devenir infinie, si )■, e?t nul. que pour certaines valeurs particulières de :. 3° Les équations

devront définir des intégrales singulrères de réqu:ition (A). /i" Eu différentiant l'équition (A), on trouve

^ ^y ./F ,_ </F _

,(>' t'/z '" ily ■*' dz " "■

On devra avoir identiquenieiil

,IV . </l" .... dV

il y dz dy

P et Q étant des polynômes entiers en )• et en )', avant pour coefficients des fonctions de :.

Il est aisé de com|)rendre l'importance de ces rt'-sidlats. Supposons en efFet que F soil un polynôme entier, non seulement par l'apport à )' et à )', mais encore [idr rap[)orl à ;. Alors, si les conditions précétlemment énoncées sont remplies, lu nombre des |)oints singuliers est fini et ces points peuvent même être regardés comme donnés, de sorte que la méthode d'intégration des équa- tions linéaires par les fonctions fuchsiennes est applicable, au moins dans ses traits essentiels. On pourràt donc ainsi concevoir l'espoir de découvrir une classe nou\elle <réquations dillérenlielles intégrables par ces tianscendanics. Dans le cas même où F n'est jjas un j)olynome entier p.ir rapport à c, le résidlal reste fort important.

Mais pour en tirer tous les huils, d est indis])en>al)le de taire des conditions précédemment énoncées une étude plus approfondie. Celte étude a été com- mencée et poussée assez loin par AL Fuclis et je désii'erais ici la pousser plus loin encore, afin d'arriver à des conclusions dè(inili\es (').

( ' ] Voii' au\ ^t^i^:.s.

Sin IN TlIKOnKMIC DK SI. IIf.llS. 7

I^e nombre que nous avons appelé |)las hiiut // jnue dans celle élude un rôle capital.

1" Sup[)05anl d'abord p ^ o. M. Fuclis pose

<!►„, <I>| i-'t *I»j désignant des poljnouies entiers en /, dont les cocflicienls dépendent de r. Il arrive ainsi à l'équation

où A,j, A|, Al sonl des tondions de ;. C'esl l'équalion de Uiccali tiu'il est aisé de ramener, comme on sait, aux équations linéaires du second ordre. Ainsi dans le cas de /> =^ o, on n'obtient pas déclasse réellement nouvelle d'équations dili'érentielles satisfaisant aux. conditions énoncées.

Dans ce premier cas, je n'ai rien à ajouter aux résultats obtenus par M. Fiichs.

2" Ce savant géomètre, examinant ensuite le cas de p = i , [lose

'l), -H »I'| V RT/^ _ *3-*- 'l'î \ R( /)

les <I», les 1-' et 11 étant des polynômes entiers en t avec des coeflîcieuls dépen- dant de ;, et R en particulier étant du quatrième degré en /. L'é(]uatiùn (A) est alors ramenée à la forme

(il 'j^ = .\o— \,i + \,r--^ '/■ v'RiT).

où les A et ). suai des fonctions de .:.

On déduit alors de l'énoncé de M. Fuchs, cité plus haut, la condition sui- vante :

(•2) -p- -(- -7t{\,,^ V,/-f-.\W=i = (Bo-HB,/)H( l).

ilz tll

Bu et B( étant des fonctions de ;.

On peut pousser plus loin encoie l'élude de celte condition, à laquelle s'arrête le célèbre analyste que nous citons.

Sit

('il R ( 0 =_( / — ï 'i( ' — ? 1 1 ' — ï H ' — S I,

» Slli rX TIIKOHEME HK M. I TnHS.

a, p, y et o (Hant des fonctions fie ;. Posons

, , , au -\- h

eu + c/

a, b, c, d étant des fonctions de ; que nous déterminerons plus complètement dans la suite et auxquelles nous imposerons d'abord la condition

ad — fer = I . Les équations ( i ), ( -j.) et (3) vont se transformer. En posant

ax'^b a'î' -\- h ay' -h h , ao -- l>

on aura

R ( / ) = (" — ^")("—';i')i" — Y){u — s') ^ B|

(c«-+- f/)»(ea'-+-rt')(c[i'-t-f/i(f-'-r f/-)(cS'-f-c/) u-h, + ,/ i» \1 ' M étant une loiution de ;,

{c!i — d)-_ cu^il

les A' et les B' étant des fonctions de ;. Il vient ensuite

'// _ du Co -t- (\» — C; u-

ilz dz{cu-^-d}- (eu ^- d y- '

d où, en posant

\:,-c„=a;,. aï — (:,= \;. \: — (;,= a^,

ou tirera

du ., —

— = A„-- A| ;(— \:^u-^ I. \ H|.

et l'on trouverait aisément

r/lt, d\\

Ainsi la forme des équations (1), (2) et (3) n'est pas changée par la transfor- mation (4), ce qu'il était d'ailleurs facile de prévoir. Nous déterminerons a, b, c, d en fonction de c par les conditions

(/:i — b = (c-\-d)^ — (a^f>) = id—c)-; — (b — a) = o

qu'il est toujours possible de remplir et qui entraînent

a'=o, ii'=i. 7' = — I. D'où la conclusion suivante :

Sin UN THKOHKMR DE M. l'I CMS. Ç)

Il est loujouis |ieriiiis de supposer

0 élanl une fonction de :: qui définit le module des [fondions elliptiques engen- drées par ^/R. C'est l'hypothèse <]ue nous ferons désormais. L'équation (2) devient alors

Faisons successivement dans cette équation

/ = o. / = 1. / = — I.

elle deviendra

'/R . . .

— ^( Ao-^ A,; -H A,/= I = o (l = — I. o i). (Il ^

Mais -7- ne saurait s'annuler pour une de ces trois valeurs de <, sans quoi

ut ^ '

0 serait égal à — i , à o ou à i , et le nombre p ne serait plus égal à 1 , mais à o.

On a donc

A„— A, I -^ \«t-= o (/ =—1. o. i),

d'où

A«=A,= A,= o.

L'équation (2) se réduit alors à

/(i — /-)-p =i'i!u— li.nR.

Si dans celte équation on fait ? ^^ ô, il reste

do

Tz = "■

Ainsi ô est une constante.

Si l'on regarde un instant ; comme une constante, l'équation (A) devient

une relation algébrique de genre p. Cette relation définit une certaine surface

de Riemann S qui dépend de .;. Ici p = 1 ; donc à chacune de ces surfaces de

Riemann correspond un système de fonctions elliptiques et le module de ces

fonctions pourra s'appeler le module de la surface S.

// résulte de ce qui précède (jur le module de la surface S est invariable. Gela |)Osé, l'équation (i) devient

H. P. — m.

dt , ,rr dz = '■ ^'*

Sun UN THKOREME DR M. Ft CIIS.

-4 = ; ,1-

R ne dé|jL'nd que de l et ), ne dépend que de ;; les variables sont dune sqjarées.

Posons "i.^ -j-^1 IX étiinl une fonction de c. L'inversion de la relation

'" I

\R

donnera

■j étant l'algoritinne d'une lonclinn doublement périodique et c la constante d'intégration.

Les points singuliers de la lonclion t seront ceux de la fonction ;j. ; ils seront donc indépendants de la constante d'intégration et seront les mêmes pour toutes les intégrales.

Ainsi dans le cas de /> ^^ 1 , comme dans celui di' [i = o, nous ne sommes pas eoniluils à une classe réellement nouxelle d'équations dillerentielles.

3° Il reste à examiner le cas de p > 1 , laissé de côté par M. Fucbs. Une petite dii^res^ion sui- les surfaces de Piieniann est ici nécessaire. Soit

une relation alyéljrique de yenre y;, <lélinissaut une surlace de lilemann S^,

.Soit

./■|i j']. y\ I ^ o

une relation de nn'me genre délinissant une surface de Rienianu S,.

Les deux suifaces Su et S| seront dites l'cjuii a lentes si l'on peut passer de l'une à l'autre par une Iransfoiination birationnelle, c'est-à-dire en établissant entre les deux points analv tiques ( \\. )„), ( ii, y\ ) une relation lelle (|ue )i et y\ puissent s'exprimer rationnellement en fonction de )„ et j^,; et récipro- quement.

On sait (pi'ij y a certains invariants (jiii ne sont p.is altérés piir hs transfor- mations birationnelles; ce sont les modules. Il y a ip — 3 modules ])iinr une surface de Iliemann de genre yB>>i ei un module pour une surface de genre un. lieux surfaces de Riemann équivalentes ont donc mêmes modules.

Reprenons maintenant réqualion (A) et considérons-la comme représentant

SUR UN TUKORKMK DE M. FUCHS. I'

une surfaci' de Riemann S variable avec :. Je dis que les modules de celle surface S seront constants et indépendants de :.

En effet partons df la valeur initiale ;o de ;, à laquelle correspond une cer- taine surface de Riemana So- Soient r„ et )|, les valeurs initiales d'une certaine intégrale de l'équation (A) et de su dérivée; le point analytique ( jo, ,)'i, ) appar- tiendra à la surface S„.

Allons ensuite du point r,, au point c■^ en sui^'a/il un ctieniiti déterminé. Lu surface de Riemann. ([ue nous avons appelée S et qui pour ; -— ;„ se réduisait à S„, variera avec ; et \w\\v z^=z^ se réduira à S,. Pour c ;= ;i, l'intégrale considérée et sa dérivée se réduiront à Ki et r, elle poini analytique ()i ,)', ) appartiendra à la surface S,.

Faisons maintenant varier sur la surface S^ le point unalytique ( ) „, ) „) qui définit les valeurs initiales correspondunl à l'intégiale envisagée, mais con- servoyis des \aleurs invariables à ;„ et à ;, et ne faisons |)as varier non plus le cliemin (iLii mène de ;„ à ;|. Dans ces conditions, les surfaces Su el S, ne varieront pas, mais l'intégrale considérée variera et dépendra des valeurs ini- tiales )•„ et rîi que l'on aura choisies. Pur conséquent Vi et y\ seiont des fonc- tions de )■„ el de }'„.

Je dis que ce seront des fonrtinns uniformes et continues du point unalj- ti([ue ( )o, l'i,). En effet si l'on se donne les valeurs initiales v,, et ) |,, l'intégrale qui correspondra à ces valeurs inili les seru entièrement délerminée. Celte intégrale considérée comme lonclion de c, peut jirendre pour c = ;, des valeurs différentes. Mais parmi elles, il y en a une, qui est celle que nous avons aijpelée )'i et qui est celle que l'on oblient en allant du poiiil ;„ au point z^ par le chemin particulier que nous avons choisi. Celte valeur r, ainsi définie est parfaitement déteiminée. C'est donc une fonclion uniforme du |Miint analy- tique ( )-u, y\).

Culte fonction uniforme pourrait toutefois être discontinue. Voyons comment cela pourrait arrivei', par un exemple sinqjle. Reprenons l'équation

; (/; -t- _;' ily = o

et son intégrale

\ f-— -•

Soient ;„= o, ;, = i el allons du poiiU >.> au point i par la droite cpii joint ces deux points. 11 viendra

J»'o =

12 SI n IN TiiEoiiKMi; IIP; .m. ficus.

et

.1-, = ± ^V-— I =± \/vg— 1.

Ainsi Vi est exprimé en fonction de }'„. Il irste toutefois pour le délinir com- plètement à décider >i l'on doit prendre le signe + ou le signe — . Supposons d'abord que la p^irtic imaginaire de lo soif positive. Posons

■ij«= ('^ 7) <-o^z-^,-(/—j)-\nz.

t et o étant des quantités réelles et telles que

Cela est toujours possible et d'une seule manière, sauf une exception dont nous parlerons plus loin. 11 viendra

* V>o— '=± |('"~ 7) "''■'r-^'i^l-^ jj ^'"yJ-

Cela posé, pour déterminer le signe qu il faut prendre, faisons \aiier :: de o à 1 , en suivant la droite qui joint ces deux points. Nous écrivons'

v.J'fi= H' -(- — ] c ^'l -h il II — — j siii'i/

■l devra se réduire ù o et 11 i\ t pour ; = 1 . Il viendra

2 \'yé—5-=± ("— ^jcos'i-^ (■/»-!- ^j -m'A

et comme celte expression devra se réduire à 2 )„ pour ; = o, il taudia prendie le signe + et il viendra

s Ml ; .

Cette expression n'est pas une fonction continue île lo- Soit en effet

/ = 1 — s.

£ étant infiniment petit. Les deux valeurs de 2 )„

(I -!- c H I coso -H (' ( I -;- : — )sinc = ac«so — iiif. imiIi

et

li-hî-^ 1 cos( — z,) -h i ( i -i- i I sln( — ç) = -2 cosi — iiif. pelil

suit IN THÉORÈME DK M. FUCUS. l3

sont infiniment voisines, tnnilis que los valeurs correspondantes de .ty,

-;-jr„.. + ^(,^. + -^)

siiiw = ■> (' siii 9 4- iiil'. |pclil

el

+- £ \ ro^i — - I -f- H i -t- ï - - ) >in(' — 3 1= — ^ ?. (' siuo + iiif. pol il

ne sont pas iaflninu'iit voisines coiiiinr elles deviaieni l'être si j-, élail fonction continue de ) „.

A quoi tient ce l'ait? Supposons que jo soit réel et compris entre — ^ i et + i. Alors il faudra prendre t = i. Et pour l'angle 9 nous aurons deux valeurs dis- tinctes satisfaisant toutes deux à la condition

cosç = J'o-

D'ailleurs rien dans les hypothèses faites jusqu'ici ne nous permettra de décider entre ces deux valeurs de 9 qui conduisent 'pour \-, à deux valeurs égales et de signe contraire. Rendons-nous compte de la raison d'être de celte anomalie. Supposons que nous ayons donné à >o une valeur réelle comprise entre — i et -f- 1 . L'intégrale correspondante

y = V^ii — -= présentera un point de ramification

= = ! J'o !

situé sur la droite qui joint le point :; = o au point .: = i , c'est-à-dire sur le chemin même que nous sommes convenus de suivre pour aller du premier de ces points au second. Quand la variable ::, en suivant ce chemin, aura franchi ce point de ramilicatiou, rien dans les hypothèses faites ne nous permetira de décider quel signe il faut attribuer au radical y/rj; — •:'•

.le suis entré dans d'assez longs détails sur ce cas simple et j'espère avoir fait CDinprendre comment y, pourrait être une fonction discontinue de ) „.

Cela arriverail si l'un des points du chemin que nous suivons pour aller de zo à :, était un point de ramification pour l'une des intégrales. Mais rien de pareil n'est à craindre dans le cas (|ui nous occu[)e. Nous avons supposé en effet que les points de ramification étaient les mêmes pour toutes les inté- grales et par conséquent qu'il ne pouvait y avoir de points de ramification des intégrales que pour certaines valeurs particulières de .:.

l4 SUR l'N THKOIIKME III', M. FI I IIS.

Or nous aurons toujours pu clioisir le chemin qui va de z-o à :, du lelle sorte qu'il ne passe par aucune de ces valeurs particulières.

Donc )■, esl une fonction uniforuic et continue de )o et i,,.

11 est aisé de voir que leLte foiiclion na d'iiulies singularilés cpie des pôles (' ).

Donc )'i esl une fonclion rationnelle de ;•„ et ) |,.

Pour la même raison, )', esl une fonction rationnelle de ) ,, et i „ ; et de même )o pI Y,, sont (les fonctions rationnelles de Vi Pi,)',.

Donc on piMit passer de So à S, p.ir une irausforinalion IpiiMtionnelle.

Donc ces deux surfaces de Rieinimn <inl mêmes modules.

Donc Ir.'i modules t/c lii suvfuce S soûl indrpciuUints de z.

c. Q. r II.

C'est le résultai (pie nous avions (dilenii plus liant pour le cas de p = ] c\ (pii esl étendu ainsi au cas général.

Pour pousser plus loin cette élude, il est nécessaire de dire (|uelques mots des transformations l)iralionnelles des surfaces de Riemann en elles-mêmes.

Une surface de genre o peut se transformer en elle-même par une infinité de tiansformalions hiialioniudles formnni un groupe ('Onlinii ,"t trois paramétres. Soient en ellel (5) /(./■. 1-1 - (>

une relation algébrique de genre o et S la surface de Riemann correspondante,

on peut poser

.r = z( !)■ y = ■]'( 'I. ■

o et <\i étant ralioniiels |el I s'exprimanl ralioniKdlement en x, ) |. Si ensuite on prend

l

; / -h S. X, (i, V et 0 elanl des conslanles (pielconqiies, puis

.r' et ) ' seront fonctions rationnelles de .f et r el réci|iroqtiemenl, on aura ainsi une lri|ile infinité de transformations hiralionnelles de la surface S en elle- même.

Les iransformations birationnelles d'une surface de genre i en elle-même

(' ) Vnir aux Notks.

SIR IN THKORKMI. DK M. IITH*. 15

formeiil encore un gToii|n' conlinu, mais ce groupe ne conlicnL plu^ qu'un seul paramètre. Supposons en effet que la relation (5) et par conséquent la sur- face S soit de genre i et non plus «le genre o. Nous poserons

9 el 'i> étant des fonctions douliliMiicnt périodiques avec les périodes m et w. Soient

un autre système de valeurs satisfaisant à la relation (5) el supposons que x' et y puissent s'exprimer rationnelleuient en .r et y, et réciproquement. On verra :

i" Que t' est une fonction entière de /; 2° Que t est une fonction entière de t' ; 3" Que l'on a entre t et /' une iclation de la forme

7. / -^- } l' -t- ■; = o,

y., p et y étant des constantes;

4" Que lorsque / augmente d'une période, /' doit augmenter aussi d'une période et réciproquement. Si p;ii- cxoinple / augmente de ',), (' devra augmenter de niu-j- ri'W . m et /( étant des enliei's. Il vient donc

ao) -I- '^j{ 1)1 oj H- /( w' I = ()

et de même

ïo)' -+- 'it m'o> -J- rt'o)' ) = o,

3t 1 «i 1 (O -H « I t.j' ) + poj = o,

ai i)i\ O) + ri\ w' ) + [jO)'= o.

Les deux dernières équations sont des conséquences des deux premières pourvu que l'on suppose mn' — m' /i = i . Celle condition est d'ailleurs nécessaire pour que les quatre équations soient compatililes. Nous remplacerons donc nos quatre équations par les trois suivantes :

I» li — //(';; = 1 .

Ces équations peuvent être satisfaites de trois manières :

1° En faisant

z = I . ^i = — I , m — n' = i , m' = n = o.

d'où

l6 SUR UN THÉOHÈME DK M. FICUS.

On esl ainsi conduit à une intinité de transformations de la surface S en elle- même, dépendant d"un seul paramètre •/ et formant un groupe continu.

■j." Le rapport - esl donné par l'équation

y.

X- -+- p--¥- x'^j{'ii -r- II' ) = o.

De plus ce rapport ne doit pas être réel (>1 on laisse de cùlé le cas cpie nous venons de traiter et celui que nous allons traiter plus loin), sans quoi le rap- port —, serait lui-même réel. On devra donc avoir

(/« -T-«')î< 4, d'où

m ■+- n' = ". I i)U — I .

11 est aisé de déduire de là que le rapport — doil avoir une des valeurs

ki-

(6)

II, /., y., "/,', [j.' <'tanl des ealicrs lels que

à;jl' — Â'a = 1 /,■ ^ (a, 3, 4- f^- 9 "i' '" ' i n\»A \>. i.

Ce cas ne pourra donc se présenter que |iour certaines \aleurs |)arlicLilières du module de la surface S. Pour ces >aleurs, la surface S admettra, outre le groupe continu trouvé plus haul, une autre transformation dont la puissance 3% 4"^ ou 6" se coiilondra avec la transformation identique, ainsi que les diverses puissances de cette translormatiou et les combinaisons de ces puissances avec les diverses transformations du groupe continu.

■5° Ou peul enlin satisfaire à nos trois équations en f.iisaul

/=—/■, 2 = 1, [j = I . /» = // = — I . III-— n ^= O.

On rsl ainsi conduit à une transformation T de la surface S en elle-même. Si l'on appelle r une transformation quelconque du groupe continu trouvé plus haut, toutes les transformations birationnelles de la surface S en elle-im'me sont comprises dans l'une des formules

-. el -V. 11 n'y a d'exception que si le rapport —, prend l'une des valeurs (6). Les consi-

Sllt UN TllKOKKMK DIS M. Il l.fIS, 17

déralions qui précédent ne présentent aucune difficulté, jo les ai pourtant déve- loppées avec détail parce que j'ai Tintention d'appliquer une méthode tout à fait anidogue à la recherche des transformations des surfaces de genre p ^ \ .

Ces surfaces ne peuvenl être transformées en elfes-mêmes que d'un nombre fini de manières.

Ce théorème était soupçonné depuis longtemps, mais la démonstration a longtemps arrêté les géomètres. Elle a été trouvée il y a quelques années par M. Klein.

Voici en effet ce que ce géomètre me (it l'honneur de m'écrire à la date du :^ avril 1882 :

« Eine Reihe von Theoremen iiber algebraische Functionen beweist man vermoge der neuen rj Function soforl (fonction intimement liée aux fonctions fuchsiennes). Zum Beispiel den Satz, den ich in meiner Schrift iiber Riemann nur erst als vvalirscheinlich bezeichnete, dass namllch eine Flàche p > 1 niemals unendlich viele discrète eindeutige Transformationen in sich besitzen kann (vermoge deren sie in eine 00 Zahl àquivalenter Fundamentalpolygone zerlegt erscheinen wiirde). »

11 est facile de reconstituer dans tous ses détails la démonstration de M. Klein.

Reprenons en eilel la relation (5) et supposons que cette relation et par con- séquent la surface S soient de genre/» > i . Nous poserons

cp(<) et '4'(0 étant des fonctions fuchsiennes dont le 'polygone générateur Rq aura ^p côtés, les côtés opposés étant conjugués. Tous les sommets formeront un seul cycle et la somme des angles sera égale à 27: [cf. Titèorie des groupes fiichsiens {Acta mathematica, t. 1, p. 28 et 42); et Mémoire sur les fonc- tions fuchsiennes {Acta mathematica, t. 1, p. 206 et suiv.)(')]. Cela est toujours possible [cf. Mémoire sur les groupes des équations linéaires {Acta mathematica, t. i, p. 272 et 276) {^)\. Soient

(') Œuvres de H. Poinraré. l. 2, p. 129-100 (Exemples III, IV), p. i '19, puis p. 111 el sui- vantes. ( = ) Œuvres fie H. Poincaré, t. 1, p. 363 et p. 368.

H. P. — m. 3

l8 SUR L'X THKOREMK DE M. FU(.HS.

et supposons que x' et )' soient fonctions rationnelles de x el de )•, et récipro- quement. Qu'arrivera-t-il si l'on étudie t' comme fonction de <? En premier lieu, tant que l reste intérieur au cercle fondamental, l' est une fonction holo- morphe de t.

De plus l' reste intérieur au cercle fondamental.

Réciproquement, quand /' reste intérieur au cercle fondamental, t est fonc- tion holoniorphe de l' et reste intérieur au cercle fondamental.

Ou en déduit aisément (cf. Mémoire sur les groupes des équations linéaires, p. 281) (') que

I = 1>

la Mibstitulion

{--m

conservant le corcle fondamental.

Soit maintenant G le groupe des fonctions fuchsiennes 9(<) et '|(0- ^^- <^'* (ju'il cs\ permutable à la substitution c. Soit en effet r une substitution quel- conque du groupe G : je dis que c^'Tff fera aussi partie de ce groupe. En effet, T faisant partie de (j, on aura

X = ?(/) = =(/.-). y = 'iù) = •]'('■-). d'où

R[ç(/i, ■i>(0]= R[?(,/--N '^t '•-)]■

R étant l'algorilhme dune fonction rationnelle quelconque. Dautre part on a, par hypothèse,

■'•■= ?('■'> = rîi[9<<): 'M/)]>

et de même

d'où

s( l.-.'i) = R,[ = (<.xl, -bi /.- 1]. ■{/(?. T. 7) = R.[9(?.-|, 'li t.- I |,

c^/tt) = s, «II. 'lii t~i) = iji 11 )

ou en changeant / en /t '

çi /Ï-' •:!) = 91 / ). il «s-'tu) = i}( /).

Donc la substitution 0- ' ro^ fait partie du groupe G. c. q. f. u.

Les substitutions linéaires permutables au groujie G et conservant le cercle

(') Œuvres de H. Poincaié, 1. 2. p. 325 el 337.

o

SLR t'N THÉORÈME UE M. Ft'CHS. 19

fondamental formenl un groupe G'. Ce groupe G' contient évidemment le groupe G; eu d'autres ternies G est un sous-groupe de G', et l'on voit aisément qu'à toute substitution de G', n'appartenant pas à G, correspomlra une trans- formation birationnelle de la surface S en elle-même.

Remarquons de plus que, d'après la définition même de G', G est un sous- gniupe " distingué » [ou invariant] de G'.

Mais il y a deux espèce.-, de sous-groupes : les sous-groupes A' indice Jim (qui sont tels qu'on obtient toutes les substitutions du groupe principal, en prenant la résultante des diverses substitutions du sous-groupe et d'un nombre fini d'autres substitutions) et les sous-groupes A' indice infini.

Je me propose de démontrer que G est un sous-groupe d'indice fini, et par conséquent que la surface; S n'admet qu'un nombre fini de lransform;itions birationuelles on ello-méme.

J'établirai d'abord que G' est un groupe fuchsien, c'est-à-dire un groupe propremunl discontinu. En effet, s'il ne l'était pas, il serait ou bien continu (c'est-à-dire qu'il conlicndiait des substitutions infinitésimales), ou bien improprement discontinu [cf. Théorie des groupes kleinèens {Acla rnat/ie- nialica, t. 'A, p. 07) (')]•

i" îl ne peut être continu, car s'il contenait une substitution infinitésimale a, cette substitution serait pernuilable, non seulement au groupe G, mais à toutes les siibslitutions de ce groupe.

Soient en effet

"i' "^ '-'-p

les substitutions fondamentales de G. D'après les liypothéses faites, les substi- tutions

fffront également partie du groupe G. Mais ces sul)stitiitinns dilTérent infiniment peu de

puisque a est inlinitésimale. Mais le groupe G étant discontinu ne devra con- tenir aucune substitution infinitésimale, il ne pourra donc contenir deux subs- titutions distinctes, mais différant infiniment peu l'une de l'autre. Donc on a

-:,■= 0— 'T/T (i = \, i. . . ., ip). {') Œuvres de H. Poincaié. t. 2, p. 366.

•lO Mil UN TIIRORKME DK M. KUI'.MS.

Donc (7 est pei'imilable aux siibslluilious rondaineiitules de d; elle est donc per- mutable à toutes les substilulions de ce groupe, qui n'en sont que des combi- naisons.

Mais je dis qu'on ne saurait trouver de substitution linéaire permutable à toutes les substitutions de G. En effet pour que deux substitutions linéaires i et 1' soient permutables, il faut et il suffit, ou bien qu'elles aient mêmes points doubles (les deux points doubles pouvant dans ceilains cas se confondre en un seul), ou bieri qu'elles aient toutes deux pour multiplicateur — i et que les quatre points doubles soient conjugués harmoniques.

Nous n'avons pas besoin de nous inquiéter de ce second cas de permulabilité. En effet une substitution infinitésimale ne peut avoir pour multiplicateur — i . Si donc le groupe G' contenait une substitution iufinitésimale a, toutes les subs- titutions de G devraient avoir mêmes points doubles que cr; elles seraient donc toutes permutables entre elles, ce (jul n'a pas lieu.

Donc (i' ne peut être continu.

2" (i' ne peut pas non plus être improprement discontinu, .l'ai démontré en effet {Groupes hleinèens, p. 58) (') que tout groupe formé de substitutions linéaires conservant le cercle fondamental, et ne contenant pas de substitution infinitésimale, est proprement discontinu à l'intérieur du cercle fondamental.

Donc G' est un groupe fuchsien.

11 aura donc un polygone générateur R^j, ut 1 indice de G considéré comme sous-groupe de G' sera égal à la S de Rq (polygone générateur de G) divisée par la S de R„ | cf. Mémoire sur les groupes des équations linéaires {.Icta nial/ienidlica, t. 4, p. 285) (-),)• Or la .S de R,, est finie, donc G est nu sons- groupe d'indice fini. • c. q. f. d.

En général, le groupe (/ ne diffère pas du groupe G, de sorte que la sur- face S n'admet aucune transformation birationnelle en elle-même. Elle ne peut en avoir que dans des cas exceptionnels qui correspondent évidemment aux différents cas de symétrie que peut présenter le polygone Rq.

Soient maintenant deux surfaces de Riemann So et S| é(piivalentes, et de genre p.

Si l'on peut passer de l'une à l'autre par deux transformations birationnpUesT et U, la transformation TU~' changera en elle-même la surface S».

(■) Œuvrer de II. Poimaié, l. 2, p. 265. (-) Œinre.s de H. Poiiicari-, l. ■;!, p. 378.

SLR IN TIIKOUK.ME DE M. IICIIS. V. I

D'où les conclusions suivantes :

1° Si /) =: G, 'ni peut passer de So à S, pai- une triple infinité de transforma- tions birationnelles.

i" Si/j = I, ou peut passer de S„ à S, par- une simple infinité de transforma- tions birationnelles.

3" Si /) > I, il n'y a en général qu'une seule transformation biralionnelle qui permette de passer de So à S,, et il n'y en a jamais ([u'un nombre fini.

Grâce à ces propositions, il est aisé de retrouver les résultats que nous avons démontré plus haut pour les cas de ^ = o et de p = i, et de traiter complète- ment le cas de /? ^ I .

I. Reprenons en eflTet l'équation

(A-) F(^, y\ 3) = o

et soit d'abord ^ = o. On pourra poser

tp et i|i étant des fonctions rationnelles de t dont les coefficients dépendent de ;. Soient )-o=: ffl(/o)) J'u = '7'('û) les valeurs initiales d'une certaine intégrale et (le sa dérivée pour ; = ;„. et

les valeurs de cette même intégrale et de sa dérivée [)our z ^^ z■^. On a vu rpie )i et )■', doivent être fonctions rationnelles de )-„ et y\^ et réciproquement. On aura donc

",''o-t- "

Les coefficients de cette substitution linéaire a, p, y, $ dépendent évidemment de ^0 et de z,. Nous regarderons ;» comme une constante, et Zt sera la variable indépendante; nous supprimerons donc l'indice i de /,, c,, Vi. )', et nous aurons

(6'» t^"^^^,

où tu sera la constante d'intégration et où x, (3, y, o seront des fonctions de r. Si se', fj', ■/, ô' sont les dérivées de ces fonctions; il viendra

, , A ^ (a7o-)-i3')(Y/o-i-S) — I Y7o-4-o')(.a<o-t-;î)

2'. SI n IN THKOHEMI- l>K M. FICUS.

En éliniiiiant /„ entre (6 ) et [j) on retomberait sur réquatiou Je Riccali, ce qui confirme le résultat obtenu plus haut.

Si l'on remplace / par sa valeur (6") dans l'expression

>■ = ={'),

on trouve pour l'intégrale générale de l'équation (A)

R étant une fonction rationnelle de la constante d'intégration ?„ et dont les coefficients dépendent de ;.

Réciproquement si l'on a une fonction i' de <„ et de z, rationnelle par rap- port à /„. et que l'on forme la dérivée )'= -^ > on obtiendra par réliminalion

de /(, une équation difTérenlielle de la forme (A) entre )', )' et ;.

Si en particulier l'équation (A) est algébrique, non seulement par rapport à )■ et à i', mais encore par rapport à z, l'équation de Riccati à laquelle on sera conduit aura ses coefficients algébriques en ,-, et par conséquent l'intégration de l'équation (A) sera ramenée à celle des équations linéaires du second ordre à coefficients algébri(|ues.

Il Supposons maintenant ^ = 1 . Nous pourrons poser

j- = ç{t), r'= 'lit).

<p et '^ étant des fonctions doublement périoditpies de / dont les coeliicienl» dépendent de ;. Conseivons aux notations

^o- :■!■ .)o— rCu'- .>i) =- 'H'o '• .»i=r*'i»- .'■'i = '^i'i)

le même sens que plus haut. On sait que.)-| et )•', doivent être des fonctions rationnelles de Vu et y'„ et réciproquement. Donc d'après ce qu'on a vu plus haut sur les transformations des surface> de genre i en elles-mêmes, on devra

avoir

/, = xl^^ 3,

a étant égal à l'une des ipuintités

2 <-; r. -1 m r.

I , — I , e ■' , — e •' , ±: i.

Comme a et |3 doivent être des fonctions continues de ;, et que t, iloit se réduire à t^ pour Cg ^= :,, on aura

3C = I. /,

SUR VK THKOBEMIÎ riK M. FUCHS. Xi

Considérons ;o comme constant, ;, comme variable el supprimons l'inilici' i de s,, <,, Y>, r'r

fî sera une fonction de ; et l'intégrale générale de réqunlion (A) sera

^K = 9' 'o- '})•

o étant une fonction doublement périodi(jne dont les coefficienis dépendront df z, (3 une fonction de z, et /„ la constante d'intégration.

Si l'équation (A) est algébrique en cr, les coeflicients de la fonction double- ment périodique cp(<) dépendent algébiiqufinent de ;: et la fonction S de r s'obtient par une simple quadrature, f^osons

■« = sn(/),

Y sera une fonction algébri(|ue de u et de ;, si l'équation (A) est algébriijue en ;. Si l'équation (A) n'est pas algébrique en z et si elle s'écrit

où les coefficients A,,,/, sont des fonctions non algébriques de ;, r sera une fonction algébrique de u et des coefficienis A,„p. J)ans tous les cas on aura

;/ = sn( /,|-^ p), t^ étant la constante d'intégration. On reconnaît là le ri'sultat obtenu plus haut.

\\\. Arrivons enfin au cas de p ^ \ . Faisons d'abord z ^^ z^ dans ré<pia- lion (A); cette équation re[)résentera une certaine surface de Riemann Sq. Si l'on y fait j -^ ;,, on aura uul; surface équivalente S,. Cette seconde surface dérive de la première par une seule transformation birationnelie on par un nombre fini de pareilles transformations.

Soient

t. Ao.i Koi,j\,,7o) = o,

(A,) ■ F,(.n,r',) = o

le» équation» de ces deux surfaces de Riemann. On passera de l'une à l'autre eu posant

(8) j, = R (.)•„. ,i-;,ï. y, = M, i.r„. .)-;,').

R et R| représentant des fonctions rationnelles. Ces fonctions rationnelles R et R| sont telles que l'élimination de )„, )•„ entre l'équntion (A,,) et les équa- tions (8) conduit à l'équation (A,). D'après ce que nous venons de voir, il n'y a qu'un nombre fini de fonctions rationnelles (pii jouissent de l;i mènie pr(q)riété.

2i si:b in théorèmk de m. FLICHS.

Donc quand on connaîtra les équations (Ao) et (A,) on pourra trouver les deux fondions rationnelles R et R, par des procèdes purement algébriques.

Comme les coefficients de (A„) et (A,) dépendent de ;„ et de s,, il en sera de même des coefficients de R. et R,. Si nous regardons r„ comme une cons- tante, z-x comme la variable indépendante, puisque nous supprimions l'indice i dans j|, /, , )-| . )'| , il viendra, pour l'intégrale générale de (A),

R étant une fonction rationnelle des deux constantes d'intégration Vo et j'',,, fonction rationnelle dont les coefficients dépendent de ;. Les deux constantes d'intégration )■„ et )|, ne sont d'ailleurs pas indépendantes, car elles sont liées entre elles par l'équation (Aq).

Si en particulier l'équation (A) est algébri(|ue en z, les coefficients de R dépendront algébriquement de :;, et l'intégrale générale de l'équation (A) sera algébrique.

Si au contraire l'équation (A) s'écrit

les coefficients A,„^ étant des fonctions non algébriques en :;, l'intégrale géné- rale

>- = R

sera une fonction algébrique non seulement de io> niais des coefficients Amp.

Dans tous les cas, récpiation (A) sintégre par des procédés purement algé- briques.

On arrive d'ailleurs au même résultat par l'emploi des fonctions fiichsiennes. Écrivons encore l'équation (A) sous la forme

V \ ^'fït \/p — Il

-* -^rnpj J ^ — "•

Nous pourrons poser

o et ■]> étant deux fonctions fuchsiennes dont les coefficients dépendent de ;. Soient l et r; deux fonctions fuchsiennes, indépendantes de ; et à l'aide des- quelles toutes les autres s'expriment rationnellement. On aura

R et R, étant des fonctions rationnelles de ? et de r,. Les coefficients de ces fonctions rationnelles dépendent de c, et il est aisi- de voir de quelle manière : ce sont des fonctions algébriques des coefficients A,„^.

SUR UN THÉOBKME DR M. FUCHS. 25

Conservons aui notations

le même sens que plus haut. Le point analytique (y,, r\) devra être lié au point analytique (vo, )''.,) par une transformation hirationnelle. On aura donc

la substitution

appartenant au groupe appelé plus haut (V.

Les coefficients «, |3, y, ô dépendent de :■„ et de ^^i , mais ne peuvent être que des fonctions continues de ^i ; de plus pour z, = Zo on a ti=^ tg. Mais le groupe G' est disconliiui. Donc on a ijuels que soient ;, et ;;o

Ainsi l est une constante et il eu est par conséquent de même de Ç et de ■<] (|ui ne dépendent que de t. L'intégrale générale de l'équation (A) est donc

y = R(ç- Ti;,

où l'on doit regarder Ç et yj comme deux constantes d'intégration liées entre elles par une relation algébrique.

C'est le même résultat que plus haut.

Il reste deux questions à résoudre.

On peut se demander en premier lieu s il existe effectivement des équations intégrables algébriquement par le procédé que nous venons d'indiquer, c'est-à-dire des équations algébriques de la forme (A), de genre /' > i et satis- faisant aux conditions de M. Fuchs.

La réponse à cette première question doit être affirmative.

Soit en effet

<{>) K(C. T,) = o

une relation algébrique quelconque de genre /> > ' dont les coefficients sont constants. Soient

H. P. — III. i

'6 SIR IN TIIÉORÉMK DE M I ICUS.

OÙ o et 'Il sont de-, fondions rationnelles de l et de o dont les coofticients dépendent de z. Nous supposerons, pour fixer les idées, qu'ils en dépendent algébriquement. L'élimination de l et de r, entre les équalions (9) et (10) don- nera une relation

où <I> est un polynôme entier en x et j- dont les coefficients dépendent de r. Considérée comme une relation entre .r et )' seulement, la relation (1 1) définit une surface de Rlemann de génie p, qui reste é([uivalente à elle-même i|uand on fait varier ;.

DifTérentions les relations (10) par rapport à z (c'est-à-dire en y regardant J et •/) comme des constantes), il viendra

iLv r/tf c/y t/'\i

-j'- est une fonction rationnelle de ; et de r,. Maintenant, des récitions (g) el ( 1 o) on peut déduire les suivanto

tS| et '^1 étant des fonctions rationnelles de .r et de r dont les coefficients dépendent <ie ::. 11 \iendra donc

(i3) '^ = H(.r. j;,

l'i étant une fonction rationnelle de j; et de )• dont les coefficients dépendent de s. En éliminant r entre les équations (i 1) et (1 3) on arrivera à une équation de la forme (A), satisfaisant aux conditions de M. Fuclis.

On arriverait au même résultat en éliminant l el rj entre les trois relations

Soit par exemple

(l4) Fi '/. 1', u' I = o

une équation dont le premier menilire est un polynôme entier homogène <lu (|uatriéme degré en u, e, w. Faisons-y

I II = a .!• -t- h r -^ c. I "1 ) ' e = «I .r -f- (),)■ -I- r,,

f II' = cu.i- :- /j^y ■+- G».

Slll IN THEOREMK DE M. KIT.HS.

OÙ les rt, les b et les c sont des fonctions algébriques de z. Nous écrirons

l'équation

¥{ax -^ b y -1- (-, «1 .>• H- A, )• -H c,, ««.r -h A,)' -i- c,) = o.

Nous appellerons A. A,. Aj, B, . . . les niinems du délerininant

,/ /- r\ "i /'i ''i l- "î '■"? ''î I

Il \iendr,i

V =

Ch ^ Cl t' -+- C;<V

OU en dilTérenlianl par rapport à ; et appelant B', B,. ... les dérivées de B, B|. ... par rapport à z

dy_ (B'«H-B',r-hB:_.iv)(GM-hC,c+C,iv)— (C't<-HC'|i-f-C'.iv)(Bw-t-Bi<'-t-B.»)

' ' dz~ ' (C« -i- Cl p-t- 0,11,1=

L'élimination de u, c, iv et a: entre les équations (i/j)) ('s) et (i6) donnera une équation différentielle de la forme (A) satisfaisant aux condilions de M. Fuchs.

Passons à la seconde question qu'il nous restait à résoudre :

Etant donnée une équation flifférentielle ali,'ébriijue (A), de i^cnre p >- i, satisfaisant aux conditions de M . Fuchs et i/ue Von sait par conséquent intègrable algébriquenienl^ comment effectuer réellement celte inté- gration .

On a vu d'après ci' ([ui précède que cetie cjneslion se ramène à la suivante :

Etant données deux surfaces de Riemann équivalentes, trouver la transforma- tion birationnelle qui permet de passer de l'une à l'autre.

Le problème ainsi posé présente la plus grandi' analogie avec le problème de la réduction des formes arithmétiques. On conviendra de dire qu'une équation algébrique

est réduite lorsqu'on l'aura ramenée par une transformation birationnelle à une forme que l'on regardera comme plus simple que toutes les autres. Il faudrait choisir les conditions de réduction de façon :

1° Que Ton puisse toujours trouver la transformation birationnelle qui réduit une surface de Riemann donnée;

28 SUR UN THÉORÈME DE M. FUCHS.

2° Qu'il n'y ait en général qu'une seule surface réduite équivalente à une surface de Riemann donnée et qu'il n'v en ait jamais qu'un nombre fini.

Alors on réduira les deux surfaces S„ et S, ([ue l'on veut transformer l'une dans l'antre; si les deux surfaces sont équivalentes, on devra parvenir à l;i même réduite et, comme on connaîtra la façon de transformer S„ en la réduite et la réduite en S,, on connaîtra aussi la transformation qui change S„ en S,.

Il est évidemment possible de trouver de pareilles conditions de réduction, ce qui rendrait complète l'analogie avec la théorie des formes arithmétiques. Mais cela n'est pas nécessaire; on peut se contenter de conditions de réduction telles que la surface réduite ne dépende plus que d'un nombre fini de paramètres.

Par exf^mple, Clebscii démontre qu'une courbe de genre p

peut toujours être ramenée au degré /> + • {AbeVsche Fiinclionen, p. ùh). Après cette réduction, elle dépend encore àe p — i paramètres.

Soient donc

F (■*",>') = <', F'(./-'. j') = o

deux courbes de genre p cju'il s'agit de ramener l'une à l'autre par une transfor- mation birationnelle. Je ramènerai la première au degré p + i par une trans- formation convenablement choisie; elle deviendra

(17) l^(-'^i,.>-i') = "■

Je pourrai trouver ensuite, par la mélliode de Glebsch, une infinité de transfor- mations birationnelJes dé[)endant de p — i paramètres arbitraires a,, «o, . . ., c.p-i, qui ramèneront la seconde courbe au degré p-\-\. Après l'application d'une de ces transformations, l'équaiion de cette courbe deviendra

(18) F,(./-,. j-,. X|, z.

^i>—\

où j'ai mis en évidence les paramétres y.. Si les deux surfaces de Riemann sont équivalentes, on pourra disposer des a de façon à identifier les équations (17) et (18) et l'on connaîtra du même coup la transformation qui fait passer d'une surface à l'autre.

On peut ainsi ramener la recherche des transformations biralionnelles qui changent Sa en S, à l'étude de l'équivalence des formes algébriques, c'est-à- dire de la liansformation d'une telle foi'me en une autre par une substitution linéaire.

SCR UN THEOREME DE M. FUCHS. I9

Soient

'•'(•'% J) = "> l'"i(-''i, ri) = o

deux équations qui représenteront deux surfaces de Riemann S„ et S, et on même temps deux courbes algébriques C„ et C|. Soient m„ ot /?; , les degrés de ces deux courbes qui auront le même genre p. Soit

(19) A, 9,(.r. jk)-I-A, 0;(x, j')+. . .+ A/, =;,(.r, y) = o

l'équation générale des courbes d'ordre /»„ — 3 qui passent par tous les points doubles de Co- Soit de même

(20) B, ■lyi.i-i, yi)~- )i,'h,{^^, yi) ^ . . .-^ Bp6^(.f,, 71) = o

l'équation générale des courbes d'ordre //i, — 3 qui passent par tous les points

doubles de C| . Soient

H (,A„ A.. .... Ap) = o,

e,(B,, B.„ ..., B^) = o

les deux relations ali;ébriques et homogènes par rapport aux A et aux B qui expriment, la première que la courbe (19) est tangente à Co, la seconde que la courbe (20) est tangente à C(. Si, d'autre part, x et j' sont les coordonnées du point de contact des deux courbes (19), et Co, si .r, et Ki sont les coordonnées du point de contact de (20) et de C, . on aura

..; =H (A,, A=. ..., A/,), j^ =R'(A,, A,,.... A^), .r,= R,(B,. B, B^). j-,= R',(B,, B, B„),

les fonctions R, R', R,, R', étant rationnelles.

Si les deux surfaces de Riemann S,, et S| ont mêmes modules, les deux formes algébriques 0 et 0, seront algébriquement équivalentes, c'est-à-dire qu'on pourra passer de l'une à l'autre par une substitution linéaire, ou en

posant

A,= Si.au-B/,.

les y.ik étant des coefficients constants.

La transformation birationnelle C|ui change S„ en S, sera alors facile à trouver. On aura en effet

avec les conditions

(22) F,(x,, j-,) = o, SBi^K-'-i, J')) = o, ^\ii^i{x-i,y,) = o,

3o SUR UN THÉORÈME UE M. FUCHS.

OÙ l'on a posé

(i;- '!ïi l^li' -''ii 'Z!li.

On pourra toujours trouver/? fonr.lions rationnelles de X| et de )-,

?l(,''l- .Kl •. Pît,-''!: 7l ). P/'t,.''!- .Il )>

qui, substituées à la place de B|, B:,, . . ., B^,, satisfont 'aux relations (22). On remplacera alors B, par Pi(ari, )|) dans les équations (21) et l'on ohlirndra ainsi la Iranst'ormalion hirationnelle qui cliango Sq en S|.

Les Invariants qui restent arbitraires dans la forme algébrique 0 sont nu nomljre de ci p — 3 cl ils doivent être regardés comme les modules de la surface de Riemaun Sq.

Il est une circonstance sur laquelle je désirerais maintenant attirer Fattanlion et qui facilite singulièrement la recherche des conditions d'équivalence des deux formes 0 et 0| et de la substitution linéaii'e ([ui les transforme 1 une dans l'autre.

Parmi les courbes (19), il j en a 2/'"' (2/' — 1 ) ==: P qui sont /; — 1 fois tan- gentes à Cq ; nous les appellerons les courltes k^] de niême il y aura, jinriiii les courbes (20), I' courbes /i 1 qui seront /; — 1 fois langentes à C|. I^a substitution

linéaire

A, ■ =>:=<,■ ;- 15/,-

qui change 0 en 0, devra transformer les P courbes />„ dans les P courbes A',. Il pourrait y avoir, dans le problème général, une assez grande indétermination; car on jtoiirrait se demander quelle est celle des P courbes /„ (pii se transfor- mera dans une courbe />", donnée. Il j aurait | P combinaisons logiquement pos- sibles, ce (pii obligerait à faire un nomljre très considérable d'essais iuuliles.

D'autres consi(|érations viendraient, il est vrai, réduire le noniln'e des coni- l)inaisons logiquement possibles; telle serait par exemple, pour p =^ 3, la dis- liibuliou des 28 tangentes doubles en 64 systèmes de \. Mais ce nombre n'en resterait pas moins très grand.

Fort heureusement, dans le prohlème particulier qui nous occupe, cette indétermination n'exisli; |)as. Quelle est celle des courbes k„ qui se transforme dans une courbe donnée / , ? La réponse est simple : c'est lacouil»^ /• „ à laquelle se l'éduit la courhe donnée /. 1 quand z^ se réduit à c,,.

On arrive même ainsi, presque immédiatement, à délerminer un grand nombre d'intégrales particulières de l'équation (A).

En effet, soit l'équation

SUR UN THÉORÈME DE M. FUCHS. 3l

pour ; = ;,, elle représente une courbe C,, qui est tangente enP(/j — i) points aux courbes A-,. Considérons y, y' et r, comme les coordonnées d'un point dans l'espace; lorsqu'on fera varier ;,, les P( p — i) points de contact ( r, y') de Cl avec les P courbes A, décriront dans l'espace P(;j — i) courbes qui seront des intégrales particulières de l'équation (A).

Il n'y a donc aucune difficulté à craindre dans les calculs algébri(|ues qui conduisent à l'intégration da l'équation (AV.

Remarquons en passant que la considération des P courbes /,„ nous conduit à une seconde démonstration de ce théorème, qu'une surface do Riemann ne peut jamais être transformée en elle-même par une infinité de transformations birationnelles.

J'arrive à la conclusion définitive de ce travail. Les équations du premier ordre '/ui salis/ont aux conditions de M. Fuchs ne constituent pas des classes réellement nouvelles d'équations di ffirenliçllcs.

Dans le cas de p ^ o, elles se ramènent aux équations Itnéaires ; Dans le cas de p t^ i, elles s'intègrent par une simple quadrature ; Enfin dans le cas de p y> i , elles s'intègrent par des procédés purement algébriques.

Nous devons donc renoncer à l'espoir de rencontrer parmi elles des classes essentiellement nouvelles d'équations intégrables par les transcendantes fucii- siennes. Tout au plus [>ourrlons-nous supposer qu'il en existe de pareilles, parmi les équations d'ordre supérieur; mais on ne pourra sen assurer que par une discussion spéciale, analogue à celle qui précède.

Le beau résultat de M. Fuchs en perd-il pour cela son intérêt? Je ne le crois [)as. 11 nous fournil en effet une classe très nombreuse déquations différen- tielles intégrables algébriquement. Les conditions de M. Fuchs sont très simples et il suffit d'un examen assez rapide pour reconnaître si elles sont rem- plies. On reconnaît du même coup l'intégrabilité algébrique, qui sans cette cir- constance aurait pu passer inaperçue.

De plus, on peut fonder sur ce théorème une méthode pour trouver les modules d'une surface de Riemann; mais c'est là un point que je ne puis déve- lopper eu ce moment.

Paris, j5 novembre 1S84.

SUR L'INTÉGRATION ALGÉBRIQUE

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 112. p. ~^^'-~fi'{ (i3 avril iSçji).

La question de l'intégration algélirique des équallons différentielles du pre- mier ordre et du jiremier degré n'a |ias attiré l'attention des géomètres autant qu'elle le méritait. La voie a été ouverte, il v a vingt ans, par un admirable tra- vail de M. Darboux; mais les analystes ont été fort longtemps sans s'y engager, et ce n'est que tout récemment que le problème a été repris par MM. Painlevé et Autonne, dans deux Mémoires que l'Académie vient de récompenser. L'importance du sujet me décide à publier quelques résultats qui s'y rap- portent, bien qu'ils soient fort incomplets.

J'écrirai l'équation différentielle sous la l'orme suivante

dx	r/K	(h
,/•	y	z
1.	M	y

L, M, N étant trois polynômes entiers, homogènes et de degré m en .r, j- et ;. Le nombre m s'appellera la dimension de l'équation. Si l'intégrale générale est algébrique, elle s'écrira

/ -I- C 0 = o.

G étant une constante arbitraire, et y' et o étant deux poh nomes homogènes d'oi-dre p en x, r et ;. J'appellerai rentarc/uaOles les valeurs de C pour les- quelles le polynôme / + Gcp n'est pas irréductible. Si l'intégrale générale algé- brique a été mise sous sa forme la plus simple, ce que nous supposerons, le nombre des valeurs remarquables est fini.

SUR l'iNTKGRATION ALCKBRIQUE des ÉOI'ATIONS DIFFÉRENTIELLES. 13

Le problème dr l'inlégration algébrique des équalions difTérentielles serait résolu si l'on avall, dans tous les cas, une limite supérieure du nombre p.

Les points singuliers de léquation différentielle sont donnés par les équations

L M N

Ils sont au nombre de m'-]- m -f- i ; nous les su/iposerotis tous distincts.

Soit alors Xo, Yc, z-a un de ces points singuliers; dans le voisinage de ce point, l'intégrale générale peut se mettre sous la toime

Xyi \^ = i-oiiM.,

S étant une constante, i'X X,, X^ étant deux séries ordonnées suivant les

j ./■ z y c , , ....

puissances de > — — — i s annulant au point sin<;ulier.

Il y a quelques cas d'exception : s'ils se présentaient, on serait certain que 1 équation n'est pas intégrable algébri(|uement ; on en serait certain également si, pour un des points singuliers, l'exposant S n'était pas réel et commensu- rable.

Supposons donc que S soit réel et commensui'able ; nous appellerons nœuds les points pour lesquels cet exposant est positif, cols ceux pour lesquels il est négatif.

Nous poserons S = |^ pour les nœuds, S :^ — - pour les cols, fx et v étant

deux entiers premiers entre eux.

J'envisage un nœud et je suppose que la courbe

ait en ce nœud À branches distinctes: ce nœud sera d'ailleurs, en général, un point singulier pour chacune de ces branches. Je démontre que l'on a

p-= S À- |Jiv. . ( »i -4- -J.)]} = Sf-i'^-i- '')■

les sommations du second membre devant être étendues à tous les no'uds.

M. Painlevé a posé le problème suivant : Heconnaîlre si r intiigrale géné- rale di- l'équation différentielle est une coaibe algébrique de genre donné, et il a énoncé un certain nombre de remarquaiiles propositions (|ul peuvent aider à trouver la solution, au moins dans certains cas particuliers.

H. P. — m. 5

34 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles.

Je trouve, en ;i|ipc'lnnt q le genre,

celle formule conlienl la solution du |iroblénie de M. Painlevé toutes les fols

que m > 4-

Considérons une valeur remarquable de C et supposons que /+C9 ne se réduise pas à- une puissance d'un pol\nomr ii rrductible ; je démontre que la courbe /+ Co 3= o va alors passer par un ct)l.

Je montre encore que le nombre total des valeurs remarquables ne peut dépasser le nombre des cols de plus de deux unités.

Voici quelques autres résultats :

Si tous les nieuds ont pour exposant .S^ + i, le nombre de ces nœuds est au moins égal a •

Si l'on a S =+i pour tous lis nœuds et S ^ — i pour tous les cols, le nombre

1 1 . • . ^ , , . ( //f + -2 )- des nii'uds est précisément égal a — •

Si, pour les cols, on a S = — i , on a la formule

ai a.( m -\- i ) = pi x, -+- 2, ).

a, et y-ï étant deux entiers premiers entre eux.

Celte formule limite le nombre p et, par c<)nsé(iucnt , résout complètemeni le problème dans ce cas particuber.

Le princijH' qui m'a conduit à ce résultat est peut-être susceptible d'être étendu à des cas plus généraux; j'es|)ère que plus d'un chercheur s'y efl'orcera dès que mes démonstrations seront publiées.

SUR LINTKGRAÏIOX ALGEBRIQUE

DES

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

ET DU PREMIER DEGRÉ (').

Rendiconti del Circolo Matematico c/i Palermo, t. ô, p. 161-191 (1891).

Introduction.

Pour reconnaître si une équation clit}'érenlielle du premier ordre et du ])re- inier degré est intégrable algébriquement, il suffit évidemment de trouver une limite supérieure du degré de l'intégrale; il ne reste plus ensuite qu'à effectuer des calculs purement algébriques.

C'est là un problème qui, semble-t-il, aurait dû tenter les géomètres, et ce- pendant ils s'en sont fort peu occupés. Depuis l'œuvre uiagistrale de M. Darboux, publiée dans le Bulleliii des Sciences mathéinalicjues, la question a été négligée pendant vingt ans et il a fallu, pour attirer de nouveau sur elle l'atten- tion qu'elle méritait, que l'Académie des Sciences la proposât comme sujet du concours pour le (irand Prix des Sciences mathématiques. Deux Mémoires furent récompensés, M. Painlevé obtint le prix et .M. Antenne une mention honorable : l'un de ces deux Mémoires a été publié dans les Annales de V Ecole Normale supérieure et l'autre dans le Journal de l' École Polytechnique.

Les inégalités et les égalités ajoutées par ces deux savants à celles que M. Darboux nous avait fait connaître faisaient faire à la question un progrès très important, mais elles ne pouvaient suffire à l'épuiser complètement. Sup-

(') Présenté le ■>.(> avril 18111, iiiipiiiiii; le S mai 1S91.

36 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. posons, en effet, que l'intégrale générale sécrive

F = const.,

F étant une fraction rationnelle; on obtiendra une autre forme de l'intégrale générale en égalant à une constante un polynôme entier quelconque par rap- port à F. Il en résulte qu'on ne peut trouver une limite supérieure du degré de l'intégrale générale algébrique, à moins qu'on ne trouve un moyen quelconque d'exprimer, dans les inégalités, que cette intégrale est irréductible.

C'est ce moyen que je me suis proposé de trouver.

M. Painlevé a parfaitement aperçu cette difficulté, mais il n'a pu en triom- pher; aussi n'a-t-il pu résoudre le problème dans toute sa généralité, mais seu- lement démontrer, dans un certain nombre de cas, que l'intégrale ne peut être algébrique.

Je n'apporte pas non plus une solution générale, et je me suis encore l)orné à un cas particulier; mais j'ai lieu d'espérer que ce problème tentera les cher- cheurs et qu'ils parviendront d'ici peu à généraliser le procédé qui m'a réussi.

M. Painlevé a posé le problème suivant : reconnaître si une équation difl'é- rentielle donnée admet une intégrale algébrique de genre donné; et il a ol)tenH divers résultats qui peuvent, dans certains cas, en faciliter la solution. Je donne |)lu> loin une formule qui contient la solution complète du problème de .M. Painlevé, toutes les fois que la dimension de l'équalion différentielle est supérieure à 4-

J'ai démontré quelques propriétés des équations inlégrables algébriquement. De pareils résultats n'ont pas pour le moment grande valeur; mais ils pourraient en acquérir le jour où l'on pourra reconnaître si ces propriétés s'étendent aux équations uon inlégrables, ou si elles ne sont pas toujours vraies pour ces équa- tions; dans le premier cas, en effet, on aurait un théorème général applicable à toutes les équations différentielles, et dans le second cas on posséderait un cri- térium permettant de démontrer que les équations de certaines catégories ne sont pas intégrables.

En ce qui concerne la limitation du degré, qui était mon but priucijial, je me suis borné au cas où l'exposant de tous les cols est égal à — i .

SUR l'intégration algébhioue des équations différentielles du premier ordre. 3;

Résultats de M. Darboux.

Adoptons les notations de M. Darboux et écrivons l'équation différentielle

sons la forme homogène, c'esl-à-dire sou> la forme suivante :

Ix	f/y	(iz
J'	y	z
L	M	N

L, M, N étant des polynômes entiers, homogènes et de degré m en x, y, z. Le nombre m est ce qu'on appelle la dimension de l'équation différentielle.

Si cette équation est inlégrable algébriquement, l'intégrale générale s'écrira

(2 1

f - Go = o,

/ et cp étant deux polynômes homogènes d'ordre /) en .r, y et ;, et C une cons- tante arbitraire. On déduit de l'équation (2) l'équation différentielle suivante

H)

dx Jy dz X y z t., Ml N',

L,=

dz dy dy dz

M,

df do df d^ dx dz dz dx

dy dx dx dy

Si donc on appidle A le premier membre de (1), et A, celui de (3), on aura

identiquement

i,= F.i.

F étant un [lolynome homogène en x, _)', ;. Soit h le degré de ce polynôme, on aura

Comment formerons-nous ce facteur F? M. Darboux nous l'apprend éga-

lemenl.

Il peut arriver que pour certaines valeurs de C, que nous appellerons valeurs

re/narr/uables, la courbe

f -T- Go = o

soit décomposable. Il pourra arriver que pour certaines valeurs remarquables

38 SUR l'intkgiution algébrique des équations différentiei.i-es du premier ordre. de C que nous appellerons critiques, on ait

/-i-Cç = ;(f' uf ... ((f .

les iii étant des polynômes entiers homogènes, et les exposants a, n'étant pas

tous égaux à i .

On aura alors

F = n„f'-',

le produit désigné par la lettre II étant étendu à toutes les valeurs critiques de C et à tous les facteurs m, (ceux dont l'exposant est pins grand que i inter- viendront seuls, car, pour les autres, a, — i s'annule et le l'auteur correspondant se réduit à l'unité).

On a donc, si n, est le degré de (/,-.

d'où

c a ) m -\- % = ). p — lia, — i ■) " , ,

la sommation représentée par la lettre i étant étendue à t(uites les valeurs cri- tiques de C et à tous les facteurs «/,. On aura, d'autre part,

(3) /) = S2,«,.

la sommation représentée par la lettre S étant étendue à une seule valeur remarquable ou critique de G et à tous les facteurs w, correspondant à cette valeur.

Des points singuliers. Les points singuliers de l'équation (i") sont donnés par les équations

U) 1' = ^ = !^'.

.r y z

M. Darbbux a montré que ces points singuliers sont au nombre de

Nous supposerons dans tout ce qui va suivre que ces m- -t- ni + i points sin- guliers sont tous distincts.

SIR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordri:. 39 Formons réquation suivante en S,

I dh d\\f dM d^\

-\' Ty--'- djA' -717-^^ d^) ^^"^

OÙ l'on donne à x, y, z les valeur» qui iorre>|3on(ient à un point singulier.

On démontre que si S, et Sj sont les racines de cette équation en S, l'inlé- grale générale peut dans le voisinage du point singulier être mise sous la forme

(6) Xfi x;^»=const.,

X| et Xj étant des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de ^ — —

z Zq

et de - — '^1 en appelant .r„, Vo, c^o le point singulier considéré. Il pourrait y avoir une exception dans divers cas :

1° Si l'équation (5) se nkluit à une identité, delà n'arrivera pas si, comme nous l'avons supposé, les m- -\- m -\- \ points singuliers sont distincts.

2" .Si l'équation (5) a une racine nulle. Cela n'arrivera pas non plus si les m"-+ m + 1 points singuliers sont distincts.

3° Si l'on a .Si^Sj. Il arrivera alors, en général, que l'intégrale générale pourra se mettre sous la forme suivante

:r — r- A log X] = consi., X, et Xj étant des séries ordonnées selon les puissances croissantes de - — ^ '—

z 3(1

et de — — '— 6t A une constante numérique. I.e point singulier est alors un

point logaiithinique. Dans certains cas la constante A est nulle; le point sin- gulier est alors ce que M. Autonne appelle un point dicrilii/iie.

4" Si le rapport ^ est réel négatif. Le point singulier s'appelle alors un col.

Il arrive, en général, que liiilégrale générale ne peut pas se mettre sous la , forme (6); le col est alors iirègulier ; mais il peut arriver également, dans cer- tains cas particuliers, que l'intégrale générale puisse se mettre sous la forme (6), le col est alors régulier.

Pour que l'équation (1) soit intégrable algébriquement, il faut (mais il ne

S, S,

suffit pas) : i" qui' pour l(*s poinU singuliers le rapport ^ soit réel et coninien

4o SIR l'intégration ALGEBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉREÎ^TIELLES DU PREMIER ORDRE.

surable; 2° que, si pour certains points eu rapport est égal à i, ces points soient dicritiqiics el non logarithmiques: 3° et enfin que tous les cols soient

réguliers.

Le rapport V s'appellera Vexposa/if i\u point singulier.

Les points singuliers pour lesquels ce rapport est réel et positif s'appelleront des nœuds (les points dicritiques sont donc des nœuds). Ceux pour lesquels ce rapport est réel et négatif s'appelleront des cois.

Si l'exposant d'un nœud est comraensurable et égal à -, /j. et v étant deux

entiers premiers entre eux. a et v seront les entiers cnroctéristiiiues du nœud.

De même, si l'exposant d'un col est commensuralile et égal à — -i[t.e\.v

étant deux entiers premiers entre eux, y. et v seront les entiers caracleristiques de ce col.

Si l'équation (1) est intégrable algébriquement, tous les pnints singuliers sont des nœuds ou des cols.

Des nœuds dicritiques.

Nous venons de définir plus haut les points singuliers dicritiques qui sont toujours des nœuds. En un nœud dicrilique la courbe

f -^ r.a = o

piésrnte en g.'néral un piinl multiple d'ordre } dont les tangentes sont dis- tinctes. Mais il peut arriver que pour les valeurs remarquables de C, deux ou plusieurs de ces tangentes se confondent.

Soit C| une valeur remarquable de C, de telle sorte que

Supposons que pour la courbe f/,= o le nœud dicritique considéré soit un point multi|)le d'ordre >,,■; la courbe m^o étant indécomposable, les )., tan- gentes serout distinctes. D'autre part, les courbes h,=:o el !<y=o étant dis- tinctes, les li tangentes à «,:= o seront distinctes des Ij tangentes à itj^= o.

On aura d'ailleurs

), ^ a, ).i — 0(2 À, -t- . . . -T- ax l/,,

ou, en conservant à la lettre S la même signification que plus haut, (ï) >. = S ^i >.o

9UB l'iNTÉGBATION algébrique des équations niFFÉBKXTIELLES DU TREMIER ORDRE. 4'

Le nœud dicritique considéré est pour A, un point d'ordre

•2 >. I

et pour F un point d'ordre

Il doit tHre pour A =: -=^ uu point dordre i, en qui nous donne la relation

(8) -1 = > A — Si a,— I !>.,.

Examinons en particulier le cas où tous les nœuds sont dicritiqiies. Deux courbes

correspondant à deux valeurs Co et C| de C ne peuvent avoir d'autre point commun que les nœud!-; de plus, si l'on considère un nœud dicritique, les A tangentes à la première courbe difiéreront des "/. tangentes à la seconde courbe, de sorte que ce nœud comptera pour A- points d'intersection. 11 vient donc

(6) /,î=S).î,

le signe S signifiant que la sommation doit être étendue à tous les nœuds que

nous supposons tous dicritiques.

Un point multiple d'ordre )., dont les tangentes sont distinctes, a pour elTet

1)1- 1 , À I ). — Il d abaisser le genre de unîtes.

On a donc pour le genre de la courbe/-!- G» = o

^ (p — i)(p — 2) __ g > I >■ - n

D'autre part, envisageons l'intersection de la courbe indecortiposable

/ — Co = o

avec la courbe «/=o qui est un facteur de y'-f-Ci'j, C| étant une valeur remarquable de G. La première est d'ordre p, la seconde d'ordre «,-, et le nombre des intersections doit être /)«,.

D'ailleurs le nombre des intersections situées en un nœud dicritique est À?.,, ce qui donne (8) ■ /)/ii=SXX,.

Comparons uiiiintenant les relations (a), ((3), (y), (ô), (6), (j), (8). Multiplions la relation (8 ) par (z,- — i) et faisons la somme de toutes les rela- tions analogues pour toutes les valeurs i-emarquables de G et pour tous les fac- H. P. — ni. !•

42 SUR l'intégration ALGRBRIQIE DES É(.irATII)NS IlIFFlinBNTIELLE? DU PHKMIF.R OHIIRI-.

leurs H, dont l'expoïaut est plus i;rand (jue i ; il viendra

/)S(a,— i)n, = SXlia,— l)>.,- OU bien

p(ï p — m 2 ) = S A ( ■) X 2 V

d'où une première remarque : ^i m n'est pas pair, /; doit être pair. L'cquation

nous donne d'ailleurs

■i /j' — ( m -4- 2 ) /) = 2 s X^ — 2 s )., d'où

( «l -i- 2 ) /) = 2 S ). .

]Mais nous avons écrit

	7 =	2
on enfin
(9)	■
Ci'la prouve :

n' ■? /) SX= SX

2 2

X / /rt — 2 ' 1 \

m — i

i" Que /J nu //( doivent être divisii)les |iar j, ou (pi'ils doivent ètri' lous deux pairs ;

2" Que si m = 4i le genre est égal à i ;

3° Que si 7» <; 4i !<' genre est égal à o; donc /? = 7 — ^ — . d'où /* = 2 pour //i = 2. /> = 4 pour »i :=: 3 ;

4" Que si m > 4) le genre est plus grand cpie i.

Des ntriids luonocrilii/iic'.s. — Abandonnons maiiilenant le cas partirulier où tous les iKi'uds sont dicrili(|ues. Lhi mi'ud /iionncritir/iic (c'est-à-dire dont l'exposant n'est pas égal à 1) est pour cliacune des branches de courbe qui y passent un pninl multiple d'ordre p, /j. élanl le plus [lelit des deux i-ntiers caractéristiques ;j. el v.

Il y a excej)lion pour deux branches de courijes remarquables, à savoir jiour

les branches de courbe

Xi=o, Xj=o;

pour ces deux branches le nœud est nu pdinl siiuple. Considérons la courbe indécoiiqiosable

y-^ Cep = o

el supposons qu'elle admette À branches de combe passant par le nœud consi- déré. Cherchons cjuel est l'abaissement correspondant du genre et le nombre

SUR l'intégration ALGÉBBIOTE des KOUATIONS DIlKÉRKNTltLLES DU PREMIER ORDRE. 43

des points d'intersection de deux courbes y'-f- Cep =r o, y-t-C,9^o qui se trouvent au nœud considéré.

Pour cria, il nous faut d'abord connaître le nombre des points d'inliTsection de deux branches de courbe.

Les équations de ces deux branches de courbe pourront s'écrire

vu- _ -, YV YiA _ ^' X'',

y et y' étant deux constantes; or, en combinant ces deux équations linéairement entre elles, on trouve

ce qui montre que le nombre cherche est égal à [vj.

Considérons alors les deux courbes /+ Co ^ o, /+ C, 9 = o ; chacune des >. branches de la première coupe chacune des 1. branches de la seconde eu /jv points confondus. Le nœud compte donc en tout pour À-'p.v intersections.

11 en résulte que la formule (()) doit être remplacée par la suivante (6 bis) p- = S \- IX V.

Passons à l'abaissement du genre.

En appliquant une règle connue, on trouve que cet abaissement est égal à

2 2 2 de sorte que la formule (j) devient

(7 6,>) ^^(/'-■H/>-^)_^^_s^(.-ix-v).

Considérons maintenant les valeurs remarqualiles de C; soit C, un(; de ces valeurs, et soit

Nous dirons qu'un facteur u^est siii^nU<:r par rapport au nœud nionoeriti(pie considéré, s'il s'annule identiquement pour X, —- o ou pour X2= o.

Si le facteur », est singulier et s'annule identiquement pour X| = o, son exposant a, doit être divisible par p.. S'il s'annule identi((ueiuent pour Xj = o, l'exposant a, devra être divisible par v.

Mais il peut arriver que le facteur tu soit doubletnrnt singulier et (pi'il s'annule identiquement tant pour Xj = o que pour Xo = o. Dans ce cas l'expo- sant o-i est divisible par fzv.

44 SIR l'intégration algébrique des ÉQIATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Enfin, il peut se faire qu'un même facteur «, snil singulier par rapport à plusieurs nœuds monocritiques.

Pour chaque nœud monocritique, il existe toujours deux facteurs singuliers (ou un seul facteur doublement singulier) correspondant soit à une même valeur remarquable de C, soit à deux valeurs remarquables diflérentes de C; et il n'eu existe (|ue deux.

On peut faire une distinction do |)lus; s\ipposons p •< v; nous dirons que le facteur a, est critiijue s'il s"annulc pour X, = o et hj jiercritique s'il s'annule pour Xo = o.

Cherchons d'abord quel est, en un nœud monocritique, le nombre des points d'intersection d'une courbe indécomposable

f- C 9 = o et d'une courbe m,= o.

Soit \i le nombre des branches de la courbe //,= o qui passent par le nœiid considéré. l'our chacune de ces branches le nœud sera un point multiple d'ordre [j. (je suppose toujours p. < v) sauf pour une d'entre elles (pour laquelle le nœud sera un point simple) si le facteur «, est singulier et pour deux d'entre elles s'il est doublement singulier.

Pour» deux branches de courbes quelconques, le nombre des points d'inter- section confondus avec le nœud est égal à /j.v; il v a exception si l'une des branches de courbe est X| = o, ou X2 = o. Si c'est X, = o, le nombre des intersections est égal à v, et [)Our Xj^ o il est égal à p..

Donc, pour nos deux courbes le nombre total des intersections confondues avec le nœud sera

XX,jjiv si le l'acteur », n'est p.is singulier,

X ).,(/v — X (|ji — i)v s'il est critique,

X Xjjiv — X( V — i) [Ji s'il est hypercrilique,

XXi(j. V — X [( [0. — i) V -t~ (v — I) \i.] s'il est doublc;inenl singulier.

Que devient la formule (y)?

Le nœud est pour la courbe (/,= o un point multiple d'ordre

X,(ji si le facteur «, n'est pas singulier,

fX, — i') jji + I s'il est singulier,

(X, — 2) jji — 2 s'il est doublement singulier.

D'autre part, soil C, une valeur remarquable de C. Le nœud sera pour la courbe /+C|Cp = o, un point multiple d'ordre Âp. si aucun des facteurs

SUR l'intégration ALGÉBniQlE DES ÉOUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PBEMIER ORDRE. 45

de /+C,o n'est hypercritique (ou doublement singulier), mais si l'un des facteurs est hypercritique el que son exposant soit égal à a,, ce sera un point

multiple d'ordre >.JJL + — (v — p.). D'où les équations suivantes qui sont les

différentes formes de l'équation (y) :

X = Sa,)v, s'il n'y a aucun facteur singulier.

X = S a,X; -(- a, ( I ) s'il y a un facteur critique d'exposant ai ,

X = S a,À, -t-at] ( - — t 1 s'il y a un facteur hypercritique d'exposant «i,

X = Sa,X, + ^i(-- — 1)^«2( ■) s'il y a un facteur critique d'exposant a,

et un facteur hypercritique d'exposant aj,

X = Sa,X,-J-a, (-'- ^i ) -^a, ( 1 ) s'il y a un facteur doublement singulier

d'exposant a,. Le nœud sera pour F un point multiple d'ordre

i: I a, — 1 ) X , ;ji — ( a, — I :n fi — I j — ( a.^ — i ) ( fi — i ;,

en appelant x, et x.j les exposants des deux facteurs critique et hypercritique qui existent toujours.

Le nœud sera aussi pour A, un point multiple, mais de quel ordre?

Le déterminant fonctionnel de / et de .. par rapport à .î et à )• par exemple (que nous avons appelé L,) est égal au produit du déterminant de /et de 9 par rapport à X, et à X.j, multiplié par le déterminant de X, et Xj par rapport à .: et à )•.

Il importe de remarquer que les deux séries X, et Xj ne sont pas entièrement déterminées. En effet, nous les avons définies en écrivant que dans le voisinage du nœud l'intégrale de notre équation s'écrit

Xi;- = const. X^.

Si Y est une série quelconque ordonnée suivant -les puissances de ^ -r ^^

de^ — ■— et ne s'annulant pas au nœud, on peut remplacer X, et Xn par

X.-^ 'cl XtYH-.

Parmi toutes ces déterminations de X, et de X^, on |>eut en chdisir une, telle que /"et cji soient des polynômes homogènes d'ordre / en X^j'' et X'^.

Alors le déterminant fonctionnel de/ et o par rapport à X, el X., est un

46 SUR L'iNTRGftATlON ALGÉBRIQUE DES ÉQUjTriOXS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

polynôme hninogène d'ordre 2 A — 2 en X^ el Xy,, que i'a|>pellerai I'. muhiplié par X!^-' etX;-'.

Le déterminant de X, etXo par rapport à r el à j ne s'annule pas en général et en tout cas les trois déterminants

ne s'annnlant pas à la fois, on peut toujours supposer f[ue le premier n'est pas nul au naud. On a alors

'- à(y,z) '^■^' ■^' ■

Pour P 11' nœud est un point multiple d'ordre {2I — 2)fi si ce polynôme ne s'annule pas pour X.j= o, mais cela n'arrive que si a^^ v; dans le cas contraire c'est pour P un point nuilliplt' d'ordre

( .4 X — 2 ) [Jl — (v — ;i),

pour L| il est d'ordre

(2X--2);jl-T-(|Jl-l)-r-(v — I)+ "-^-^ (V-[X)

et pour A, d'ordre

(■2X — 2)^t-l-(Jt— V — I H ( V — (Jl ).

Mais nous savons que ce doit être un point simple pour A, il vient donc

(AK 2 ) (Jl — [Jl — V I — ; (V JJl j

= S(aj— dX/iji — (a,— i)(|ji — it — («2— I l( H — I) -+- •; ou, en divisant |)ar y., (S) (u À — .>)-1- a, (i— ' Wa^M— - ) = S (a,— l) X/.

Que devient maintenant la formule (8)?

Quel e>l le nombre total des points d'intersection de la courbe indécompo- sable /+ Cep = o avec «,= o ?

J'appelle e, un nombre relatif à ui et à un des nœuds. Ce nombre sera nul si M,- n'est pas singulier par rapport à ce nu'ud; il sera égal à {jj. — i)v s'il est critique, à (v — i)/ji s'il est hypercritique, à (p. — i)v + (v — i),u. s'il est double- ment singulier. 11 vient

piii = S (X X,- |ji V — X £,).

Multiplions cette relation par st, — 1 cl fiiisons la somme de toutes les rela-

SUR l'intégration ALGÉBIUQIÎE DES ÉOUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 47

lions analogues pour toutes les valeurs remarquables de G et pour tous les fac- teurs w, dont l'exposant est plus grand que i ; il vient

y)S(a,— i)«,= S [X(jiv Xiot,— i)X,] — SX S ^c/.,— 1} s,-.

Mais d'après la signification de £, et en appelant encore «, et «j les exposants des facteurs critiques et hypercritiques, on a

i;(z;— i) £,= ( «,— i)( |Ji — i,|v + (a.,— i)(v — i) ;a.

D'autre |iarl

fi V s (a,— 1) X, = (-àX — .! ) (jiv + a,v (|ji — i) -t- aî^ji^v — i).

Il vient alors

fj{ ->p — m — 2) = S X iji.v(', ) :i; + S X,(;j. — i)v -+- S X(v — i) jx,

OU

(10) (nî -(- 'O/J = s X ( ;x 4- V I.

Or

P- — 3« + ■>. - X-av „ a , 3;> „ X

a = '- £- S — J S -(1— |A— v=i !- -I- S -([ji + v— I),

■2 ■>. i. i •'■

d'où

Si, par exemple, wî = 4> il vient

On voit ainsi que pour»; :=4i '*• « fortiori pour w>>/i, le genre est tou- jours plus grand que i .

Quelle est la condition pour qu'on puisse reconnaître si l'équation didéren- tielle comporte une solution générale algébrique de genre donné? C'est que tous les coefficients du second membre de (i i) soient de même signe; c'est-à-dire que

ce qui a tnujours lieu pour m ^ 4-

Des cols. — Nous distinguerons trois genres de culs :

1" Ceux du premier genre seront les points doubles d'une courbe indécoui- posable

ou d'une courbe

"1 = o.

18 SUR l'intégration algébrique DRS ÉOUATIONS différentielles nu PREMIER ORDRE.

Uj étant un des facteurs indécomposables de

/■+ C s = U^> (/»!. .. !?«k *f '12 /■

pour une valeui' remarquable de C.

Tous ceux de ces points doubles qui ne sont pas des nœuds sont des cols.

Pour un col du preniii'r genre les deux entiers caractéristiques sont égaux à I .

2° Ceux du second et du troisième genre sont les |>oints d'intersection de

deux courbes

",= ", - "/■ = <',

Ui et uj étant deux facteurs indécomposables de

/^ G ç = ii'fi »«i . . . lift

pour une même valeur remarquable de C.

Tous ceux de ces points d'intersection qui ne sont pas des nœuds sont des cols. Les deux entiers caractéristiques p. et v, qui sont [ireiniers entre eux, seront entre eux dans le même rapport que les deux exposants a,- et cxj.

Si «,= <xj et que, par conséquent, |jl = v = i , le col sera du deuxième genre.

Si (Xj^Cj et que, par conséquent, p. <r^ v, v>i, le col sera du troisième genre .

L'équation dilTérentielle étant donnée, on connaît les entiers caractéris- tiques. On peut donc distinguer les cols du premier et du second genre de ceux du troisième genre, mais non ceux du premier de ceux du second.

Propriétés diverses. — Quelques-unes des formules précédentes peuvent être simplifiées si l'on adopte les notations suivantes :

Soil Ç,- un nombre égal à i si m, nest pas singulier par rapport au uœud con- sidéré, à ^ si Ui est critif[ue, à v s'il est hjpercritique, à p.v s'il est doublement singulier.

A chaque facteur Ui et à chaque nœud monorritique correspond ainsi un nombre Z;.

Soit alors h; le plus petit commun multiple de tous les nombres Ç, cori'es- |)ondant à un même facteur w, et à tous les nœuds monocritiques. Ce nombre h, est donc égal à i si (/, n'est singulier par rapport à aucun nieud.

Il est clair que jî, est divisible par /;,; nous poserons donc

i', = (/''', a, — Aj'aj,

scjR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 49 d'où

Nous appellerons «■= /j,A, le degré de p,.

La courbe i>i:= o se compose de /i,- courbes confondues avec u,= o. J'appel- lerai \\ le nombre des branches de la courbe Vj^^ o qui passent en un nœud monocritique. Chaque branche de «,== o comptera pour /«, branches de (',= o, sauf s'il y a lieu celle qui s'annule pour X, = o et qui comptera seulement

pour — branches, et celle qui s'annule pour X2 = o et qui comptera seulemeat pour — branches. On aura donc

X/ = /ijX, si le facteur m, n'est pas singulier,

X; = /(,),, — /(,( I — - 1 s"il est critique.

X; = /(,X, — /', ( I — - ) s'il est hypercritique,

X/ = /(,X, — hil i ) s'il est doublement sinsulier.

\ 1^ ■'/

Le nombre des points d'intersection de

ç>,= o et y"— C3=o

est alors dans tous les cas }.7.]^^j.

Celui de deux courbes

fi = o, vu = o

correspondant à deux facteurs

sera 1] l). /jtv.

L'équation (y) s'écrira dans tous les cas

x = sa;x;.

Examinons maintenant la question suivante • Soit, pour une valeur remarquable de C,

Est-il possible que les deux courbes

l'i = o, Cj = "

n'aient d'autres points d'intersection que des nœuds? H. p. — III.

5o SUR LINTÉGBATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS DIFFÉBENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Appelons h le nombre des points d'intei'seclion de ces deux cmirbcs «dilués en dehors des nœuds, nous aurons évidenimenl

n\ n'., = S À'i )vj jjiv -I- /(.

Supposons d'abord que nous n'ayons que deux facteurs et que l'on ait

/-t-C? = ,.f rj:. nous aurons les relalions

p^ = S À» |jiv . pn\ = S ).a'| ;j.v, a'i n\ — a!, n'., = jj. a.\ \\ -H a!, \', = \ ; d'où l'on peut déduire

a'i /i'|- ■+- alj n\ n\ = a', S X',- [jlv + a', S \\ V.^ |Jiv , a'i n\ n'., -\- a'^ n'.? = ï', S X', Xô [jiv — a'., S V.r fiv.

SI l'un avciil h = <> et par conséquent n\ n., = S),', )..',/j^v, il viendrait

«',- = S X'|- jjiv, ii'.r = ^ X!,- ;xv,

et pour des valeurs quelconques de x et de v

(I) {n\x — „:,yp^ SiJiv(X'|3- — X:,.)';2.

Si l'on fuit )• = «',, r = n'.,, le premier membre s'annule, ce qui exige que

X\x = X'^^.

• X', , . 1 . n'i

Le rapport ,7 est donc constant et égal a — r-

Rien dans le raisoimemenl c|ui précède ne suppose que les facteurs n , et Wj sont irréductibles. Si donc on a

/• -H G ï = e»; r»^ . . . if ; ('="•'* ' . . . vjt. et si les courbes

v, = n, t'a =0, .... l'i = Il

n'ont en dehors des nœuds aucun pninl commun avec les courijis

(', + ,= 0. P,_j..;=0, .... VA = 0,

on pourra regardery -f- C'j comme le produit des deux lacteurs

,,ï;,.a; ,.a' et ,.*'.• i,,*'.i i ..*i

et l'on aura pour tous les nœuds monoeritiques

a'i X', -f- a!> X2 ^ . . . — xîX; _ x'i /(', -f- a'., n'., ^- . . . + a,' ni

a', «:.

SUR l'intégration algébriqur des équations différentielles du premier ordre. 5i Revenons au cas où le nombre des facteurs est égal à 2 et où, par conséquenl,

mais ne supposons plus // = o; la formule (1) deviendra

(n\x — "'j7)- = S |ji •/ (X'i .r — 5,'^,j)- — h

Si nous faisons en particulier

y = n\, X = «2, il vient

{■1) h p- = a', ot!, S (Jiv (À'i «!, — X^j n'i)-.

Supposons de nouveau que nous ayons doux facteurs et que nous écrivions

_/-!- C p = V^'f*!,

et supposons de plus /; = o.

Je dis que la courbe /-j-Ccp = o ne sera indécomposable pour aucune valeur de C.

Soit, en effet, â le plus grand commun diviseur de n\ et de n., et posons

«', = j3|S. tt'.^ = [3j3, «■j = c'i"', 11',= ('P';

les deux polynômes iv, et iv^ seront de même degré, à savoir de degré (3|p.iâ. Soit k une constante arbitraire. Etudions la courbe-

ii'i — k iv-i = o. Elle sera de degré Pi P2 ô.

Voyons comment elle se comportera dans le voisinage d'un nœud mono- critique.

On pourra écrire, si .^0, Voi ^n sont les coordonnées de ce nœud,

.<■, = ^v, n,(x';-, X''). »•, - w, n.,{\^;. x!t),

Wi et W. étant deux séries ordonnées suivant les puissances de ^ %

y — -ti; et ne s'annulant pas au nœud considéré. II, et II^ sont deux polynômes

Z Za

homogènes en XiJ- et Xy, ; II, est de degré PjA', et IL de degré (S, À!..

Mais on a (puisque // ^= o)

x; _ n\

5'2 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. ce qui permet d'écrire

£ étant un entier.

Donc les deux polynômes II, et Ho sont de même degré (3,(32E-

Quel est alors, au nœud considéré, le nombre des points d'intersection de la

courbe

«■, — ^ H'., = w, n , — A Wî n, = o

avec une branche de courbe

Xlf = const.X:;?

Il sera au inuins égal à (SipiE^uv, et le nombre des points d'intersection des

deux courbes

ir, — k H'2 '— o, y-KCç = o

est au moins égal à a|3, ^Sj sfjLV.

Si les deux polynômes iV) — /.iCj, _/ ' + C9 n'avaient aucun fadeur comiiuin, le nombre total des poiuts d'intersection des deux courbes devrait être p^i, j3^ô.

Nous venons de voir que le nombre des poiiils d'intersection silués aux meuds est au moins égal à S À [3, Ci-, £p.v.

Mais nous avons

p = a'i ii\ ~ a'.j/i'.^, X = a\ a\ -+-a!,X!,,

ce qui montre que

et comme on a il viendra

/> 0 = S X £ ]J.V.

Le nombre des points d'intersection situés aux noeuds sera donc au moins égal à jo (3,(32 0.

Considérons un point quelconque de f -j- Cep =-- o situé eu dehors des nœuds; on peut toujours choisir la constante k de façon à faire passer par ce point la courbe w, — A"(V2==o. Le nombre total des points d'intersection devient alors supérieur à y^(3i(3.,ô, de sorte que / -+- Co et w, — ÂiVj doivent avoir un facteur commun. Si / +C9 est supposé irréductible, «', — Air^ sera divisible pary + Co.

Avant trallrr plus loin, il est nécessaire qu(! je démontre un lemme :

Soient X et \ deux polynômes homogènes de même degré en t, v, s et a une constante (juelconr/ue. Si la courbe

X — aV = (.

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 53

est dècomposable quelle que soit la constante x, les deux polynômes X et Y

sont des polynômes homogènes et de même degré par rapport à deux autres

polynômes c, et n qui sont eux-mêmes homogènes et de même degré en x, y

et z. De plus, la courbe

t — a T, = o

n'est pas dècomposable quelle que soit la constante a.

En effet, soil IN lu. degré de X et de Y. Soient ensuite, pour une certaine valeur de a, n,, «n, . . . , np les degrés des fadeurs irréductibles de X — «Y. La continuité suffit pour montrer que It; nombre des facleuis et les degrés n,, n^, ■ . ., rip seront les mêmes pour toutes les valeurs de a sauf pour certaines valeurs que j'appellerai singulières et pour lesquelles quelques-uns des facteurs pourraient eux-mêmes se décomposer.

Soit donc, pour une valeur non singulière de x,

X — a Y = ZiZï . . . Z^, ,

le facteur Z, étant irréductible et de degré /;,.

Soil maintenanl a' une constante infiniment peu différente de oc, il viendra

X — a'Y = Z', z:, ... z;,.

Le facteur Z,' différera très peu de Z,; on voit dune que, si l'on fait varier cf. d'une façon continue, les polynômes Z,, Z^, ..., Z^ varieront d'uae façon continue.

Je dis maintenanl que si l'on fait décrire à la variable a des contours fermés convenables, les divers polynômes Z,, Z^, . . . , Z^ s'échangeront les uns avec les autres; je dis par exemple qu'on pourra échanger Z, avec Zj.

Soit, en effet, x^, r,, z, un point de la courbe Z, =z o cjui ne soit pas un nœud; soit de même X2, )'2, :•■> un point de la courise Z^^o. Faisons ensuite

varier x, y, z depuis x,, y,, z, jusqu'à x^, r2, z.,; alors =< = t; qi'i esl une

fonction de x, y, .: décrira un contour ft'rmé, et quand ce contour sera décrit, il esl clair que Z, se sera échangé avec Zo.

Les polynômes Zi, Zo, . . . , Z^ sont donc de même degré, de sorle que N esl un multiple de n, .

Il resle à établir que l'ensemble des courbes Z, = o qui dépendent du para- mètre arbitraire a, forment un faisceau linéaire; or cela est évident puisqu'elles n'ont pas d'enveloppe, même au sens purement analytique de ce mot.

Appliquons ce qui [irécède au cas qui nous occupe.

54 SUR l'intégration algéhriqde des équations différentielles du preuier ordre.

Ou bien (v, — Aii'o sera irréductible sauf pour certaines valeurs de k et ce polynôme devra être alors identique à f-\-Co; ou bien w, — A-i\\ ne sera pas irréductible et son degré devra être un multiple de celui de son facteur irré- ductible/+ C9; on aura donc

Ç étant un entier; de sorte que

Cette égalité n'est possible que si Ça!, pj est divisible par [3,, ou, puisque j3i et [Sj sont premiers entre eux, si t:x'., est di\isible par |3,. Mais si t^x'., est divisible par S), il vient, puisque Ç, a', et ^, sont essentiellement positifs,

PiP2<ra'p,-Ça,p,.

L'égalité est donc impossible et nous devons conclure que /-î- C-^ ne peut être irréductible.

Si (loue /'— C-^ est irréductible, sauf pour certaines valeurs particulières de C, ce //ue nous /wiivons toujours supposer, les deux courbes

lu =0 "j = '>

auront d'autres points rommuns que les nœuds.

Rien dans ce raisonnement ne suppose tjue u, et «2 soient irréductibles; si donc on a pour une valeur remarquable de C

/-h C 9 = H». (/»> . . . iif- iif;^'. . . «^'

il y aura certainement, en dehors des nœuds, des points d'intersection qui appartiendront à la fois à l'une des courbes

H| = O, (/j = (), .... «,= 0

et à l'une des courbes

"/+! = ", "i+i =", . • • , "X = <'.

Classijicalion des valeurs rcmar</u(ihles de C. — Nous distinguerons les valeurs remarquables de C en plusieurs espèces.

La première espèce comprendra celles pour lesquelles les exposants a, de tous les facteurs irréductibles «, seront égaux à 1.

La deuxième espèce comprendra celles pour lesquelles les exposants a, seront premiers entre eux, sans être tous égaux à 1 .

La troisième espèce comprendra celles pour lesquelles les exposants st, auront un plus grand commun diviseur différent de i, sans être tous égaux entre eux.

SUR l'intégration algébrique des ÉQl ATIONS différentielles du premier ORIlRE. 55

La quatrième espèce comprendra celles pour lesquelles il v a plusieurs fac- teurs {/,■ distincts dont les exposants a,- sont tous égaux entre eux sans être tous égaux à I, de telle sorte que /"+ Co soijt une puissance parfaite d'un produit de plusieurs facteurs distincts.

La cinquième espèce enfin comprendra celles pour lesquelles /'+ Co est une puissance parfaite d'un polynôme irréductible.

Si G est une valeur remarquable de l'une des quatre premières espèces, la courbe f ^- C'y := o se décomposera en deux courbes distinctes qui, d'après le paragraphe précédent, devront se couper au moins en un point en dehors des nœuds et par conséquent en un col.

Le nombre des valeurs remarquables des quatre premières espèces est donc au plus égal au nombre des cols.

.Supposons que tous les cols soient du premier ou du second genre et soil C une valeur remarquable. Soit

a/t- ,

/— G 9 = «*■ ««= . . . "°'';(^;+' • r ■ "?

l'une des courbes (/,, U21 ■■■■, ui devra ( ouper en un col l'une des courbes Ui^,, M,V2. • • -, i>k, et comme le col est du premier ou du second genre, ces deux courbes devront correspondre à un même exposant x.

Je dis que l'on doit avoir

a, = «2= . . . = a/-.

En effet, l'ordre des facteurs u,, iii, ... est arbitraire; si donc tous les exposants n'étaient pas égaux, on pourrait supposer

y, = 3t.2= .. . = a,, 2;^_i^y.,, a,,_, Jîa,. . .. y.<. 5^1.

Un des polynômes ne pourrait donc pas avoir même exposant [qu'un des polynômes «,^i, 11, 2, . . . , ii/i.

Donc, si tous les cols sont du premier ou du second genre, toutes les valeurs remarquables seront de la première, de la quatrième ou de la cinquième espèce.

Les valeurs remarquables des quatre dernières espèces sont celles que nous avons appelées plus haut critiques.

Application d'un théorème d' Hal/ihen. — .le dis maintenant qu'il ne peut pas exister plus de deux valeurs remarquables des trois dernières espèces.

En effet, s'il v en avait trois on pourrait supposer par une substitution

56 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. linéaire que ces trois valeurs remarquables sont o, i et oo, de sorte que

/, o et —(J-o) seraient des puissances parfaites. Soient

ces trois puissances parfaites; on devrait avoir identiquement

X». -i- Y». •+- Z«o = o, X, Y et Z étant des polynômes homogènes de degré

£-, P, P.

a,' az' ïj

en X, y et :.

Or Halphen, au début de son Mémoire couronné sur les équations linéaires, a étudié les identités de cette forme. Il a montré d'abord que les nombres a,, izj et «3 devaient avoir certaines valeurs particulières («,, 2, 2), (2, 3, 3), (2, .'5, 4), (a, 3, 5); il a fait voir ensuite qu'on devait avoir

X = P,( 7)1,7)2), Y = Pï(lQl,';2), Z = P3(V1,,7„),

P,, Po et P3 étant des polynômes homogènes en r,, et rio qu'Halphen a complè- tement formés et qu'il est inutile de transcrire ici, pendant que yj, et 7)2 sont deux polynômes homogènes de même degré en x, y et s. Alors la courbe

/-+- C o = X«i -4- CY»: = o

est décomposable quel que soit C en un certain nombre de courbes appartenant

au réseau

■"Il

— =con5.l.

Or c'est là précisément le cas exclu plus haut.

Si donc, comme nous l'avons supposé, /+ C9 n'est pas réductible quel que soit C, le nombre des valeurs remarquables des trois dernières espèces ne peut dépasser 2, et par conséquent le nombre total des valeurs remarquables est limité.

J'ajoute que, s'il y a deux valeurs des trois dernières espèces, de telle sorte, par exemple, que

les deux nombres «, et «2 devront être premiers entre eux, car s'ils avaient un

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 57 facteur commun, le polynôme

serait réductible quel (|ue soit C.

Nombre des nœuds. — Supposons que tous les nœuds soient dicritiques, on aura

d'où, si l'on appelle n le nombre des nœuds et x une variable quelcon(pie,

x-p- — (ni^-2)/Ja7 + /i = S(3;X — i)2.

Le second membre étant essentiellement jiosilif, les racines du trinôme du second degré en x qui figure dans le premier membre doivent être imaginaires

ou égales, ce qui exige que

( m -+- -i )i

4 De plus, si

(w -H ■>.)-

les racines sont égales et le second membre doit pouvoir s'annuler, ce qui ne peut avoir lieu que si tous les X sont égaux entre eux.

Supposons maintenant que tous les nœuds soient dicritiques et tous les cols du premier ou du second genre; toutes les valeurs critiques de C sont des deux dernières espèces et il ne peut y en avoir plus de deux. Soient y.^ et a^ les exposants correspondant à ces deux valeurs critiques. On aura pour la première valeur critique

^ = Sa,n,= a, S «i, S (y.,— i) «; = ( i — — 1 /),

et de même pour la seconde valeur critique

S («,-,)«,= ('-^J/'-

Alors la formule

7?i + a = •'./) — S (a, — .1) ni devient

m + v.= '.p— (i— ^^P —

1 — - 1/',

■(---)■

\»1 «2/

On aura de même pour un nœud quelconque et pour la première valeur H. P. — III. H

58 SIR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. critique

S,a,-,)X.= (.-^)X:

■i =	•2À — 2(«r	-i)li
•2 =	-■(r,^	..)■
rit	-à)'-	(«i--.0^
ih	-^r^-	= =4",
i	( ni — -j y := ;	'■Jl.

et pour la seconde

de sorte que la formule devient

d'où

ou, puisque />^ = S). ■^.

Liinilatinn du t/egrc. — Dans le cas où tous les cols sont du premier ou du second genre, il est possible de Irouvci une limite supérieure du degré /; et par conséquent de reconnaître si l'équalion est inlégralile algébriquement.

Nous venons de trouver, en eflfet, sans avoir besoin de supposer que tous les nœuds soient diciltiques,

d'où

a, 2j(m -f- ■'.) =/> ( a,-t- y-iK

Or, X, et y., sont premiers entre eux et par conséipuni chacun d'eux est pre- mier avec a,H-ao. Donc a, + sco divise m -\- 2.

Nous devons en conclure que «, + «0 et par conséquent a,, «■> et /' sont imités. c. Q. F. n.

Je m'arrêterai là, l)ien que les principes qui précèdent |iuissent prdliahle- ment, avec de légères modifications, donner des résultats dans des cas moins particuliers.

l'aiis, le li a\ 1 il 1891.

SUR L IMEGRATION ALGEBRIQUE

DES

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

ET DU PREMIER DEGRÉ (').

liendiconli del Circolo Mateniatico di Palermo, t. 11, p. igS-aSg (1897).

J'ai pulilié sur rr siiji'l nii preinuT arlu Ir. (jni a paru dans le» Rendiconti drl Circolo Matematico di Palermo {l. V, aiuiéL- 1891V Je nw suis occupé de nouveau de la même question dans ces derniers temps, dans l'espoir que je par- viendrais à généraliser li's résultats obtenus. Cet (!spoir a été déçu. J'ai obtenu cependant quelques résultats partiels, que je prends la liberté de publier, esti- mant qu'on pourra s'en servir plus tard pour obtenir, par un nouvel effort, une solution plus satisfaisante du problème.

C'est à ce premier article que je renverrai quand je parlerai de « la première partie de ce travail ». J'adopterai d'ailleurs la mênn' terminologie et les mêmes notations que dans cette première partie.

C'est ainsi que la lettre — représentera une sommation portani Mir toutes les valeurs critiques de C et tous les facteurs lit. La lettre S en caractères gras représentera une sommation étendue à une seule valeur critique de C et à tous les facteurs a,- correspondant à cette valeur. La lettre S en caractères ordinaires représentera une sommation étendue à tous les nœuds.

Soit C une valeur remarquable quelconque et soit

/ -(- C o = H*' td- . . . til'' = r^' P*3 . . . r^i- l'identilé correspondante.

C) Présenté le 23 mai 18(17.

6o SUR l'intégration algébrique des équations DIFFÉBKNTIIiLLES DU PREMIER ORDRE.

Nous aurons toujours les relalions

p = S3t,/!,= S*i"i, À = S 3!;/.;.

Soient niainlenanl H,a le nombre des points iJ'inlerseclioii des courbes (^=o, f/;i=o situés en des cols; et H)^. le nombre des points d'intersection des courbes t',= o, i/(= o situés en des cols. Comme P/^ o équivaut à h, courbes m,= o confondues, et ('a= o à hk courbes f/A= o confondues, ou aura

Hû = hihkWiu

Le nombre total des intersections de ('/= o, i'a= o sera

(i) «;«i(-= SX^Xiiav -H H,'x-.

Celui des intersections de (',= o avec une courbe /+ Ci 9^=0 quelconque sera

pni = S /.).,|Ji'',

d'où

ii'i S ïl rn= S [ ).; (XV S ai ).'/t ]

ou

Or

«/ 'l'r +^ aï "i n'/c = aï S Xr |xv -(-^ ai- S Xj Xii- fxv.

d'où

(■->.) ïîni'-' = x,SX/-';j.v -(-^ ailli;(.

Soient X,, X-,, ..., X/, des indélerniinécs; multiplions l'équation (i) par 2x\o('/^XiX/,, l'équation (2) par (x'ix'f et faisons la somme de toutes les équa- tions analogues; il viendra

(3) [ S a) .r ,/!;]'= S,av[S>.;.r,X;] = — SSa;^^. H;<.(.r,-— .r/.)"-.

Le signe SS >e rajtporle à une sommation portant sur tontes les combinai- sons des indices / et k, chaque combinaison intervenant une fois.

La formide (3) est la généralisation évidente de la fornude ([ui est au début de la page 5i (première Partie).

D'autre part

/ii= hi/ij, a,— -j- ■

Sl'R 1,'lNTÉGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQl'ATIONS DIFFÉRENTIELLES Dtl PREMIER ORDRE. 6f

La formule (3) devient alors

(36(i) [S"ï,«,.2-;]== S.uv rS2,;r,^ I — SSa,a/(- H,a.( j-,— .rx-)'.

X' Le terme -^ est égal à >.,• si le facteur a, n'est pas singulier. "("

Plusieurs cas sont à considérer, suivant la nature de la valeur remarquable C. Si C est de première espèce, les a,, les x'- et les /;, sont tous égaux à i et l'on a simplement

[S«,.r,p= S;.iv[S/.,:r,p— SS H^i Xi— .T),)'-.

Si C est de l'une des trois dernières espèces el que les c. aient un diviseur

commun ô, el si l'on pose

a,= a'; S.

on pourra diviser l'équation (3 bis-) ])ar ô- et l'écrire

{'iter) [S3c"«,-:r,]== S-Jiv jSît';.'-, •^' | "— SSstl^ H,<.(.r, - .r*.)'.

Les coefficients a" sont alors premiers entie eux.

Recherche des valeurs remarquables. — Considérons une valeur remar- quable de C et la relation (3 bis) correspondante. Soit ij le nombre des facteurs distincts dans lesquels se décompose le polynôme/ J- Cep; je dis que le nombre des cols qui interviennent dans la formule (3 bis) correspondante est au moins égal k C] — 1 , de telle sorte que l'on a

Si, en effet, il n'en était pas ainsi, on pourrait mettre /'+ Co sous la forme d'un jiroduil de deux facteurs, qui ne seraient d'ailleurs pas forcément irréduc- tibles, et tels qu'il n'y aurait pas de col pour lequel ces deux facteurs s'annulent à la fois. Alors, d'après ce que nous avons vu dans la première partie de ce tra- vail, le polynôme /"+ C 9 serait décomposable pour toutes les valeurs de C, ce que nous ne supposons pas.

Pour nous en rendre compte, représentons chacun de nos q facteurs par un point, et joignons deux de ces points par un trait, s'il existe un col pour lequel les deux facteurs correspondant à ces points s'annulent à la fois. S'il y a moins àe q — 1 cols, il y aura aussi moins de ^ — i traits, et il sera impossible d'aller d'un quelconque de nos q points à un autre quelconque de ces q points en sui- vant les traits ainsi tracés.

6-2 SUR L'rNTÉGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDnE.

Nos q points seront donc répartis au moins en deux groupes, de telle sorte qu'on puisse en suivant les traits aller d'un point d'un groupe à un autre point du même groupe, mais non passer d'un groupe à l'autre.

Soit alors U le produit de tous les facteurs h, correspondant au premier groupe, chacun de ces facteurs étant affecté de l'exposant a, correspondant. Soit V le produit de tous les facteurs h, correspondant à tous les autres groupes, chacun d'eux affecté de son exposant. On aura

et il n'y aura p.is de col pour lequel U et V s'annulent à la fois.

Soit B le nombre des cols.

Soient A, le nombre des valeurs remarquables de la première espèce, Q, le nombre lnlal des facteurs correspondants, c'est-à-dire la somme de tous les nombres y relatifs à ces diverses valeurs remarquables de la première espèce.

Soient A., el Q^, A3 et Q3, A, et (^).,, Aj et Q5 les nombres correspondanls pour les valeurs remarquables de la seconde, de la troisième, de la quatrième et de la cinquième espèce.

D'après le résultat que nous venons d'obtenir, on aura

H ^Q, H- Q» H- ».>;,+ Qi- A, - A,- y- \. et comme d'après la définition des valeurs des quatre premières espèces

k'iâ'-'^i- Qî^-'Aî. Q:,l>\:,. Qii'iAi,

il viendra

D'autre part, d'après la définition des valeurs de la cinquième espèce, ou

aura

Q.= A,.

Enfin, d'apiès le théorème d'Halphen {/oc. cil., p. 55),

A, \.,4- A.,<-,<..

Ces inégalités limitent le nombre des valeurs remarquables et même les nombres Q,-. En elfet, le nombre des cols B est connu.

Mais on peut aller plus loin. Soit une valeur remarquable de l'une des deux premières espèces; soit

la décomposition correspondante; je suppose quatre facteurs pour fixer les idées. Les nombres a,, a.j, x^, y.., doivent être premiers entre eux. Repré-

SUR l'intégration ai.oébrioue des équations différentielles du premier ordre, fl'i

sentons ces quatre facteurs par les ([uatre points M,, Mo, Ma, M.,; ces quatre points devront être joints au moins par trois traits correspondant cliacun à un col. Je suppose, pour fixer les idées, que ces trois traits soient les traits M, Mo, MjMa, M3M.,. A chacun de ces traits correspondra un col que nous devons choisir parmi les B cols de notre équation différentielle; comme ces cols sont connus et en nombre fini, nous ne pourrons faire qu'un nombre lini d'hypo- thèses.

Considérons le col qui correspond au trait M, Mo, ses entiers caractéris- tiques p. et V seront connus et nous devrons avoir

a» V ou ^ = — .

Nous n'avons ici à choisir qu'entre deux hypothèses; il en serait de même en ce qui concerne les cols qui correspondent aux deux autres traits et les rapports

correspondants — et —

En résumé, les rapports des quatre exposants y., sont connus, ou plutôt nous ne pouvons faire en ce qui les concerne qu'un nombre fini d'hypothèses.

Mais, si la valeur remarquable est de l'une des deux premières espèces, les nombres a, sont premiers entre eux; nous connaîtrons donc les nombres «, eux-mêmes.

Si, au contraire, la valeur remarquable est de l'une des trois dernières espèces, les nombres Xi ne sont |dus premiers entre eux; mais nous pouvons poser

le nombre â éLmt le plus grand commun diviseur des a,; nous connaîtrons alors les nondjres a] cpii sont premiers entre eux, mais nous ne connaîtrons pas 0.

En résumé, au sujet du nombre des valeurs remarquables des cinq espèces, du nombre des facteurs correspondant à chacune d'elles, des ex[iosants «j relatifs aux valeurs remarquMbles des deux premières espèces, des nombres aj relatifs aux valeurs remarquables des trois dernières espèces, nous ne pouvons faire qu'un nombre fini d'hypothèses : Les deux plus grands communs divi- seurs ô| et ôo relatifs aux deux valeurs reman/uables des trois dernières espèces, si elles existent, demeurent complètement inconnus.

Valeurs des m. — Adoptons, au sujet du nombre des valeurs remarquables

64 SUR LIMTÉGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

de chaque espèce, de même qu'au sujet des exposants a,- ou a-, une des hypo- thèses en nombre fini que nous pouvons faire. Il nous reste à déterminer les deux nombres ô, et èo, les deux nombres p et 1, ainsi que les nombres rt,- et X,-.

D'un autre côté, nous ne pouvons faire qu'un nombre fini d'hjpolhèses au sujet de ceux de nos facteurs qui sont critiques ou hjpercritiques ou double- ment singuliers par rapport aux divers nœuds. Ces hypothèses pourront être examinées successivement. Nous adopterons donc l'une d'entre elles; les nombres //,■ pourront alors être regardés comme connus, ainsi que les rapports des exposants a]-.

Nous aurons alors, pour déterminer les nombres «,, les relations suivantes

Ces relations peuvent suffire si le nombre des valeurs remarquables de C n'excède pas 2. Dans ce cas, en effet, ou aura

p = Sai«,

pour chacune des deux valeurs remarquables, et, en additionnant les deux équa- tions ainsi obtenues, il viendra

■ip =^o,«,.

Eu remplaçant dans l'équation qui donne m +2, on trouve m -h 2 = ^ Xj/ij — ^ (a, — i)"i = ^ 'U-

Les nombres n, et le degré/) sout donc limités.

Mais il n'en est plus de même si le nombre des valeurs remarquables est supérieur à 2. H y a lieu de se demander alors si les équations (4) comportent une infinité de solutions en nombres entiers.

Discutons cette question, en considérant d'abord les exposants «, comme donnés.

Soient <y le nombre des valeurs remarquables; C,, Cj, . . ., C,^ ces valeurs; R le nombre des facteurs relatifs à Ca- Soient

xl, x-^, ..., 'J.\

ni, >q, ..., n

les valeurs des nombres a, et n; correspondant à ces K facteurs. Rangeons-les de façon que

«l<a|<...<oc^

SUR l'intégration algébrique des équations DIFFERENTIELLES DU PRKMIER ORDRE. 6i

Les équations (4) nous donnent alors

N 11,= iq — i^p + m -+- 2.

D'autre part, si «i, a-j, . . . , a^ sonl q nombres positifs tels que

« I — rt, -H ...— «,/ = q — i,

on aura

(gr — 2)/5 = a,Sa'| n\ + ajSaî, «!j -h . . .+ a g S -^Ij n'^ ^

d'où

(5) 'V «,= «iSz'i n\ -h. . .-+- a^Sy-l^iil^-r- m -+■ i.

L'équation (5) est évidemment impossible si l'on peut choisir les nombres a^ de telle sorte ([ue l'on ait à la fois

a, a ] > I , a, ai > I . .... a,/ x^ > i ;

c'est-à-dire si l'on a

I I I

Donc, pour que les équations (4) admettent des solutions, il faut que

Maintenant, dans quels cas les équations (4) admettront-elles une infinité de solutions? Pour cela il faut et il suffit que les équations (homogènes) en /? et en «,,

admettent des solutions positives.

Si l'on peut trouver des nombres au tels que

(6) «i-xl < i<«iï!t (/>: = I, -i, •••, î),

a, -H «; -t- . . . ^ or,/ = 17 — 2,

il est clair que les équations (4 6«) admettront des solutions positives; on pourra, en effet, satisfaire aux conditions

(7) S/i/' = a,Sa/ni', S«r = «îSa?/!r. ■••• S/if = a,Sa?/i;'.

Réciproquement, pour que les équations (4 bis) admettent des solutions posi- tives, il suffit que les équations (7) en admettent, les nombres ai étant convena- blement choisis; il suffit donc que l'on puisse satisfaire aux conditions (6). H. p. — m . 9

66 SUR l'intégration ALGEBRIQUIi: DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Mais pour qu'on puisse satisfaire aux conditions (6), il faut el il sufiil qu'on ait à la fois l'inégalité

II I V^ 1

(à) -tH r-f-...H--;=>-7>« — i

^ ' a a. a,', ^ al. ^

et l'inégalité

(8) 2i<9--^-

En résumé, si les inégalités (5) et (8) ont lieu à la fois, les équations (4) admettent une infinité de solutions.

Si l'inégalité (5) a lieu seule, elles peuvent en eomporter un nouibic lini ou n'en comporter aucune.

Si enfin l'inégalité (5). n'a pas lieu, elle> n'en admettent aucune.

Nous avons supposé jusqu'ici que les nombres a,- étaient connus. Cela est vrai en ce qui concerne les valeurs remarquables des deux premières espèces. Mais cela n'est plus vrai s'il existe des valeurs des trois dernières espèces. En ce qui concerne ces dernières, nous ne connaissons que les a,, mais nous ne connaissons pus les deux plus grands communs diviseurs ô, et o,, relatifs aux deux valeurs des trois dernières espèces qui peuvent exister. Posons alois

A.,=2

la sommation s'étendanl seulement aux valeurs des deux premières espèces. Soit -V- le plus petit des nombres a" relatifs à la première des valeurs des

trois dernières espèces, si cette valeur existe; si elle n'existe pas, nous ferons A, = o.

Soit de même -r- le plus petit des nombres a" iclatifs à la seconde valeur des

trois dernières espèces; si elle n'existe pas nous prendrons Ao^u. Nous pou- vons toujours supposer A, > Aj. L'inégalité (5) devient alors

. , A, , A,

6, "'■'^-

Si A„ > ^ — a, l'inégalité sera satisfaite (|uels que soient les nombres o, et âj.

Si A|,-|-A|>^ — 2, A(, + A2<(/ — 2, on pourra prendre ô^ aussi grand qu'on voudra, mais ô, sera limité.

Si Ao+ A2> ^ — 2, Ao<^q — 2, on pourra prendre l'un des deux nombres è, et Ô2 (mais non tous deux à la fois) aussi grand que l'on voudra.

SIR l"i\tÉ(;ration algébrique dks équations différentielles du premier ordre. 67 Si enfin A|,+ A, < ^ — 2, les deux nombres ô, el oo seront tous deux limités. Ainsi donc, dans le cas où l'on aura

A,,-!- A,< o — 2

el où l'inégalité (8) ne sera pas satisfaite, même dans l'hypothèse ô,=ô.. = o, on ne pourra faire au sujet des nombres ô, et ôo qu'un nombre fini d'hypothèses et les équations (4) n'auront qu'un nombre fini de solutions.

Le degré p est donc limité.

Il existe donc des cas très étendus où, comme dans celui que j'ai examiné dans la première partie de ce travail, le degré p est limité et où, par conséquent, le problème de l'intégration algébrique peut être regardé comme résolu.

Valeurs des À,. — Les nombres >,, doivent satisfaire à certaines équations tout à fait analogues aux équations {\).

Considérons d'abord un nœud dicritique, nous devrons avoir

(9) /, = Sa,X,, .. = 9./,— V

^a

(2,-1 )/.,.

Les équations (9) tout à fait aualogues aux équations (4) se discuteraient de la même manière, et cette discussion conduirait au même résultat.

Si les inégalités (5) et (8) ont lieu à la fois, les équations (9) admettent une infinité do solutions.

Si l'inégalité (5) a lieu seule, elles peuvent en comporter un nombre fini ou n'en comporter aucune.

Si l'inégalité (5) n'a pas lieu, elles n'en admettent aucune.

Envisageons maintenant un nœud monocritique.

Dans ce cas la première équation (6) doit être remplacée par la suivante

(^bis) >. = S3(,/.,-i-3,2| f -i — I j — ;,ï, ^- — ij:

y.i est l'exposant du facteur critique, aj celui du facteur hypercritique; e.^ est égal à o ou à i, suivant que le facteur critique correspond ou non à la valeur remarquable envisagée, el £.> est défini de la même manière en ce qui concerne le facteur hypercritique.

De même, la seconde équation (9) doit être remplacée par

(.9 'e') (iÀ — ^î i — a, / I— - j H- aJ I— - j =2(a( — j)À,-.

68 SUR l'iNTÉCRATION algébrique des équations différentielles du premier ORIIRE.

Nous avoQS q équations (gbisj correspondanl aux ^ valeurs remarquables; en les addilionnanl cm trouve

et en combinant avec (9 ter)

(10) "S^Xi^iq — ■!)'/. -^-2.

Soient encore t/,, a>, ... ., a^, q nombres positifs tels que

«1 ^ a« -H . . . + a,i = y — 2.

Désignons par Â]^ les nombres >., lelatifs à la valeur remarquable Ct, de même que nous avons désigné par n^ les nombres ni relatifs à celle valeur remar- quable C/;.

Nous pourrons écrire

• ^ À,- = « I > -j.} /. ', -t- a,_S -4 '/.f + . ■ -^ "'/^ ^1 "'■ '! -t- a, 2, ( I J -- c(^ X; ( 1 J -^ >. ;

a\ est celui des nombres a^ qui se rapporte à la valeur remarquable correspon- dant au facteur critique, et a!, est défini de même par rapport au fadeur hypercritique.

Pour que les équations [gbis) et (g 1er) admellenl uue infinité de solutions, il faut et il suffit que les équations (homogènes)

À=Sï,/.|, -2 X = ^ {3., II/.,

admettent des solutions positives, c'est-à-dire que les inégalilés (5 j et (8) aient lieu .

Si l'on observe maintenant que les nombres X,- el «,• ne sont pas indépen- dants, mais qu'ils sont liés par les relations (3) el (3 bis), on pourra espérer que nos équations (4), {(^bis) et (g ter) n'admettront qu'un nombre fini de solutions compatibles avec les relations (3) alors même que les inégalités (5) et (8) auraient lieu.

Mais cet espoir serait trompé en général; on serait conduit à une discussion qu'il est inutile de développer ici et qui conduirait à la résolution d'une équa- tion de Pell ou d'une équation analogue. L'équation de Pell, on le sait, admet une infinité de solutions.

SUR l'intégration algébrique des équations uifférentielles du premier ordre. 69

Cas fies neuf nœuds dicritiques. — On se trouve doac en présence de dif- ficultés que je n'ai pu encore surmonter. Je me bornerai ici à traiter un cas particulier simple, où la nature de ces difficultés apparaît clairement, bien qu'on puisse en triompher.

Supposons m = 4 et que tous les nœuds soient dicritiques. D'après c(^ que nous avons vu dan^ la première partie de ce travail, le genre des courbes

/— C? = n sera égal à i .

D'autre part, le nombre des points singuliers sera

m- -f- m -I- i = 2 1 .

Je supposerai que ces 21 points singuliers sont p nœuds dicritiques et 12 cols.

Par les 9 nœud> je puis faire passor une cubique. Soit p le degré de la courbe f-\-Co = o; elle aura avec la cubique 3/? points d'intersection dont un certain nombre seront confondus avec les nœuds. Si l'on envisage les g nombres 1 relatifs aux g nœuds et la somme SX de ces 9 nombres, on aura

ip = S À — h,

h étant le nombre des points d'intersection mobiles situés en dehors des

nœuds.

On aura d'autre part

/)== SX-. d'où

( .'•=/)= -f- 6j:p — 9) = Six-X'-^ïA-X-hl)-*- ixfi,

c'est-à-dire

(n (.r/i -H 3;== S(.7-). -i-i)=-f- 2x/(.

D'autre part, on a, en appelant q le genre de la courbey + C9 = o,

(/' — ')(/' — •'-' ^. 3 '■ ' >■ — ■ .> ^

2 " " 2 '^ 1'

ou •

/'- — 3 /) -(- 2 = s À= — S À -4- 2 (/,

ou enfin

2(y — I ) -t- A = o,

ce qui conduit à deux solutions

<7 = ij h = o ou y = o. h = 1.

C'est la première qui convient, puisque, y := i d'après ce que nous avons vu

70 SUR l'intégration algébrique des EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

dans la première partie; on a donc h =^ o et la cubique n'a pas de point d'intersection mobile avec les courbes y+Ccp^o. L'équation (i) se réduit

donc à

(x/7H-3)= = S(:i;X^i):;

et en faisant x =^ et multipliant par p-

S( 3À— /j)== o,

ce qui montre que tous les ), sont égaux entre eux et égaux à ^■

Soient «I, Ho, ..., u,j les arguments elliptiques des neuf nœuds sur la

cubique, on devra avoir

S X « ^ o,

c'est-à-dire égale à une période (des fonctions elliptiques envisagées"). Donc S« est égal à une période divisée par À, c'est-à-dire par ^•

Si nous connaissons l'équation différentielle, nous connaîtrons les neuf nœuds, nous connaîtrons donc la cubique et les neuf arguments elliptiques u. Nous verrons donc si S m est commensurable avec une période. C'est là une condition nécessaire pour que l'intégration algébrique soit possible.

Supposons-la remplie, le nombre /. est par là même connu.

Considérons 8 de nos nœuds, peut-on conslruire une courbe de degré 3X admettant ces 8 nœuds comme points d'ordre ).?

Une courbe de degré 3>. est déterminée par

3/.(3X-t-3)

points. D'autre part, un point multiple d'ordre 7. compte pour

)-(X-)-i)

conditions. Il nous restera donc

9^(>--t-') _ g X(?.H-i) ^ À(À^ i)

2 1 ■>

points disponibles.

Imposons-nous encore que le neuvième nœud soit un point multiple d'ordre ). — i , ce qui fait

conditions; il reste conditions.

A(,A — I)

>■(>■ -Hl) _ >-(>■ — 1) ^ ^

Sun l'intégration algébrique des équations DIFFÉRENTIKLLES DU PREMIER ORDRE. "I

Menons par le neuvième nœud ), — i droites quelconques non tangenles à la cubique, et imposons-nous que ces > — i droites rencontrent la courbe d'ordre 3X en >, points confondus. De sorte que, ou bien le neuvième nœud sera encore un point multiple d'ordre >., ou bien ces 1 — i droites seront les 1 — i tangentes à la courbe au neuvième nœud. Cela fait encore 1 — i condi- tions, il nous restera donc encore un paramètre.

Gela posé, les gX points d'intersection de la cubique avec la courbe d'ordre SA seront 1 points confondus avec les huit premiers nœuds, X — i points confondus avec le neuvième nœud, et un point inconnu.

Soit «lo l'argument elliptique de ce point inconnu, on aura

X ( («1 -h «2 T . . . — (/g ) -4- ( À 1 ) «5 -+- M| Il = O.

Or, par hypothèse,

S X M ^ <l.

Donc

th= "lo-

Donc le point inconnu se confond avec le neuvième nœud; nous avons donc À droites, à savoir la tangente à la cubique et les )i — i droites construites plus haut, qui rencontrent la courbe d'ordre 3>, en X points confondus. Le neuvième nœud est donc un point multiple d'ordre X de la courbe d'ordre 3Â.

Nous avons donc délini un faisceau de courbes d'ordre 3X admettant nos neuf nœuds comme points multiples d'ordre X.

Soit \\i ^ o l'une de ces courbes.

Cherchons en quels points cette courbe louche l'une des courbes définies par nos équations différentielles, équations que j'écrirai comme dans la première partie

(2)

Le lieu des points où une des courbes définies par les équations (2) peut toucher la courbe 4* = o est défini par

, T s f d'il ,, d'il ,, d'h

(3) L-T^ -H Mji + N -^ = o.

rf.i- d_y dz

Comme par hypothèse L, M et N sont d'ordre 4, et '^ d'ordre 3X, le premier membre de (3) est un polynôme homogène d'ordre

3À H- J.

d.,-	dy
j:	y
L	M

-•l SUR L INTEGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Le nombre total des points d'intersection de (3) et de 'J; = o est donc

9X(X-i).

Considérons maintenant l'un de nos neuf nœuds dicritiques. soient Xn, j'o, 5o ses coordonnées; nous pourrons toujours supposer que ce poin' n'est pas sur la droite de l'inlini j =: o, ce qui nous permettra de faire ^o = i .

Développons ij/ suivant les puissances de x — Xg ;, y — Vos; il viendra

•h = '\i,-^'hl+t-T-...^'\,,l,

en appelant i^^ un ensemble de termes homogènes de degré k en x — XoZ et y — J>'o2, multipliés par ^''-*.

Le nœud considéré est un point mutiple d'ordre >. de '^ = o et les directions des ), tangentes sont données par l'équation homogène

■h = o.

Développons de même

zL — x^a, 3.M— kN

suivant les puissances croissantes de x — XoZ, y — ^^uZ^, il viendra

iL JfN = A 3*(j" .r„ Z) -H T), -1- T,3 -i- 71,.

;M— j-N = A.zUy —y„z)-h-r\'^-h t,, -t- t]'.,.

les ru et les t)Jj étant des polynômes homogènes d'ordre k en x — Xo:-. y — VoS multipliés par z^~''.

11 est à remarquer que le coefficient A est le même dans les deux formules; c'est précisément ce qui caractérise les nœuds dicritiques.

Comment trouver les termes du degré le moins élevé en (x — Xoz), (y — y'oz) dans le premier membre de (3)? Appelons 0 le premier membre de (3), il viendra

d'

ou

(4) 5e-3ÀN'> = (3L — xN)^ -^(3M-vN)^.

dX ■/ ' ^y

Les termes de degré le moins élevé du second membre sont évidemment

Les termes de degré le moins élevé de N sont N,,;', N(,-' étant ce que devient N quand on y change x el y en XgZ el y^z.

SUR l'intégration algébrique des EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. ^3

L'ensemble des termes du degré le moins élevé de 0 sera donc

Xz3 4-x(3N„-f- A ).

Les 1 tangentes à la courbe 0 ^ o sont donc les mêmes que les >, tangentes à la courbe <]i =z o.

Le nœud considéré compte donc pour '/.{l + i) intersections elles neuf nœuds pour 9>,(>, + i) intersections.

Donc, ou bien les deux courbes se confondent, ou bien elles n'ont pas d'autre point d'intersection que les nœuds.

Mais il j n plus, je dis que je puis loujours^ supposer que la courbe 0 = 0 admet nos neuf nœuds comme points multiples d'ordre ) -|- i .

En effet, nous ne changeons pas nos équations différentielles en changeant L, M, N en L-\-xE., M + rH, N + .îH (H étant un polynôme homogène quel- conque du troisième ordre).

On change ainsi 0 en

Soit Ui l'un de nos neuf nœuds. Soit H,; la valeur que prend H en ce point et soit SXAjiJ;). l'ensemble des termes de 0 qui sont d'ordre X en x — XqZ,

Pour que la courbe

B -^ 3 À H 'L = o

admette nos neuf nœuds comme points d'ordre À -+- i , il faut et il suffit que l'on ait les neuf équations

(5) H,-i-A,= o I / = 1, ■)...., 9).

Peut-on choisir les dix coefficients de H de façon à satisfaire à ces neuf équa- tions? Il ne pourrait y avoir doute que si tous les déterminants formés à l'aide des coefficients de ces neuf équations à dix inconnues s'annulent tous à la fois. Mais s'il était ainsi, les équations (5 bis) H/ = G

admettraient une double infinité de solutions. C'est-à-dire qu'on pourrait faire passer par nos neuf nœuds un faisceau de cubiques et que S« serait une période.

Mais nous avons supposé que Su était commensurable avec une période et de telle façon que A soit le plus petit nombre tel que ISu soit une période. Donc, si X > i , Su n'est pas une période. Donc on peut satisfaire aux équa-

H. P. — III. 10

74 siiR l'intégration algébrique des équations uifférentielles du premier ordre. lions (5). Donc, on peut toujours supposer que 0 = o admet neuf points mul- tiples d'ordre >. + i.

Nous admettrons déso^mai^ qu'il en est ainsi.

La courbe 0 = o est d'ordre 3(). + 0 et elle a, en nos neuf nœuds, 9(>. + i) points d'intersection avec notre cubique.

Nous sommes donc en présence de deux hypothèses :

i" Ou bien la courbe 0 = o se décompose en la cubique et une courbe d'ordre il;

2° Ou bien elle n'a pas d'autre point d'intersection avec la cubique que les nœuds. Mais alors on aurait

et comme on a déjà

À S u ^ o,

il viendrait

S II ^s n,

ce qui est contraire à ce que nous avons supposé, puisque S (/ n'est pas une période.

La seconde hypothèse doit donc être rejetée.

Donc la courbe 0^o se décompose; et les deux composantes sont, d'une part la cubique, d'autre part une courl)e d'ordre 3À admettant les neuf nœuds comme points multiples d'ordre À et appartenant par conséquent à notre faisceau.

Soit F = o l'éqLuUion de notre cubique, celle d'une courbe quelconque du faisceau sera

a et 6 étant des coefficients arbitraires et, en oiri't. In cubique prise l fois, fait évidemment partie du faisceau.

On aura donc

e = Kl n'\i -t- ùF''').

Soit maintenant

„ , dF „ dF _, dF

dx dy dz '

9 sera un polynôme du sixième degré.

La courbe 9 = o passe évidemment par chacun des nœuds et sa tangente au nœud est celle de la cubique; on le démontrerait comme plus haut.

Les deux courbes 9 = o et F=: o ont donc dix-huit points d'intersection aux nœuds; donc :

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du prehier ordre. 75

Ou bien 9 se décompose en deux facteurs dont F est l'un;

Ou bien les deux courbes n'ont pas d'autre point commun qu(3 les nœuds, ce

qui entraînerait la congruence

2 S u ^^ o.

Cette congruence n'a pas lieu (si >. > 2).

Donc d est divisible par F.

Soit donc

e = PF,

P étant un polynôme du troisième degré.

Mais nous avons vu plus haut que les termes de degré 1 en x — x^z et

en y — YoZ dans 0 sont

>■ 3-' 'h (3 No -H A).

On verrait de même que les termes du premier degré en a; — XqS et y — }'„ :■

dans 0 sont

>.3-'Fi(3N„^A),

en représentant par F, l'ensemble des termes du premier degré de F.

Mais, d'après l'hypothèse faite plus haut, chaque nœud sera un point d'ordre 1 + i pour 0 = o, et l'on a par conséquent

3No+ A = n.

Donc les ternies du premier degré de 9 disparaissent. Chaque nœud est donc un point double pour 9 = o.

La courbe P = o passe donc par les neuf nœuds.

Si les cubiques P = o, F ^ o étaient distinctes, on aurait donc

5 K ^^ n, ce qui n'a pas lieu. Donc

6 = cF:,

c étant un coeflicient constant.

Nous pouvons alors nous demander s'il est possible, étant donné un poly- nôme F du troisième degré, de trouver trois polynômes L, M, N du quatrième

degré, tels que

6 = 3F = .

Il est clair que ce problème comporte une infinité de solutions.

Soient P, Q, R trois polynômes quelconques du second degré, si nous

76 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. posons

, • a: a.r

il viendra évidemmenl

---'^-^%--%'

ax dy dz

C'est d'ailleurs la solution la plus générale, comme on s'en assurerait en remarquant que si L', M', N' sont trois polynômes du quatrième degré satisfai- sant à l'identité

,,r/F ..,dY ...r/F dx dy dz

dV dV

le polynôme L' devra .être égal à la somme de -7- et de -7^ multipliés respective- ment par deux polynômes du second degré.

Cela posé, donnons à nos polynômes L, M, N la forme (a) el cherchons quels seront les points singuliers de nos équations différentielles. Ces points singu- liers sont donnés par

L _ M _ >; X y i

et l'on voit tout de suite qu'ils se divisent en deux catégories. Nous avons d'abord neuf points satisfaisant aux équations

1 <-/F d¥ dV

\ X —, >- y —, h z -r- = o.

( S ) ; dx ■^ dy dz

1 X P +^Q -f- ; R =0. Nous avons ensuite douze points satisfaisant aux équations

P	Q	R
dF~	dF '	~ dF
dx	dy	dz

Les neuf premiers points sont sur la cubique F; ce sont eux qui devraient être nos neuf nœuds dicritiques.

Ils sont à rinlcrsectiou de F = o avec une autre cubique. On aura donc

S « ^ o.

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 77 Le faisceau /+ Cy = o devra alors se réduire à ua faisceau de cubiques

\' ■+- CF, = o. de telle façon f|ue 1 = i .

On pourrait, il est vrai, se demander si l'on ne peut pas faire passer par ces neuf nœuds trois courbes de degré 3^, linéairement indépendantes et admettant les neuf nœuds comme points multiples d'ordre /..

On aurait alors non plus un faisceau mais un réseau de courbes d'ordre 3>,, et l'équation de ce réseau pourrait se mettre sous la forme

F'.-HC'F;-t- C"* = o.

où C et C" seraient des constantes arbitraires et «I» un polynôme d'ordre 3 A indécomposable.

Mais cela est impossible ; soit en effet M un point quelconque du plan; par ce point passeraient une infinité de courbes du réseau, formant un faisceau. Deux quelconques de ces courbes se couperaient en gl'^ points aux nœuds et en un [)oint au point M. En tout 9)1'- + ! points d'intersection. Cela est absurde, puisque les deux courbes sont d'ordre 3 À.

Ainsi nous devons conclure que 1 ^ ] .

Nous avons, il est vrai, laissé de côte un cas; celui où /. serait égal à 2, où l'on aurait par conséquent

9. S « :e= o

et où la courbe 9 = o, au lieu de se décomposer en deux cubiques dont l'une serait F =: o, serait tangente aux neuf nœuds à la cubique F = o.

Dans ce cas on peut construire un faisceau de courbes du sixième degré admettant les neuf nœuds comme points doubles. Soit /( + C /■• = o l'équation de ce faisceau. On peut, (|uel que soitp, construire un faisceau de courbes de degré 6p admettant les neuf nœuds comme points multiples d'ordre 2p.

L'équation de ce faisceau est

/('+C/.f=o.

Mais on ne peut pas, pour la même raison que tout à l'heure, construire un réseau de pareilles courbes.

On doit donc supposer /? =: i et par conséquent le faisceau f + Go = o ne pourrait être autre chose que le faisceau du sixième degré que nous venons de construire.

Supposons donc >, = 2.

78 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre.

L'équation du faisceau peut se mettre sous la forme

F- + Co = o, 9 étant du sixième degré.

La valeur G =: o est alors une valeur remarquable de C. Les équations connues

/,i + ■> = ■)/)— ^(a,— l)n,-, ■> = il — ^(a,— DÀf

deviennent alors

6 = 6À — (À — i)3 — N^(a,— i)rt,,

■1 = ■!/. — (À — l) — ^ (a, — -l)/..

le signe 2' représentant une sommation s'étendant à tous les facteurs «, corres- pondant à toutes les valeurs critiques de C autres que C = o. Mais si 1 ;= 2, la dernière de ces équations se réduit à

> ( 2; I lÀ, = 1.

Cette équation ne peut être satisfaite que d'une seule manière. 11 ne doit j avoir, en dehors de C = o, qu'une seule valeur critique pour laquelle on aura

À, ^ I. a, = 2.

D'autre pari, la première équation donne

> (a,- — i)«,= 3:

ou, puisqu'il n'y a qu'une seule valeur critique et que a;,'^ 2,

/(, = 3.

Ainsi, pour cette valeur critique, F^+Cw doit se réduire au carré d'un

poljnome du troisième degré F,, de sorte que la cubique F, ;= o passe par nos

neuf nœuds. On aura donc

Su^.o.

ce qui nous ramène au cas précédent.

Ainsi dans ce cas très particulier, que j'ai étudié peut-être un peu longue- ment, nous sommes parvenus à limiter le degré des courbes algébriques

/ -(- C ç = o ; mais pour cela les considérations purement arithmétiques ne nous ont pas suffi;

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 79 nous avons dû recourir au théorème d'Abel, qui nous a appris que

/.S W S5 II.

Cette circonstance doit nous faire mieux comprendre la nature des difficultés à vaincre.

Étude des points siii<;ulieis. - Dans le voisinage d'un point singulier, il existe deux séries que nous avons appelées X, et Xj et qui sont ordonnées sui- vant les puissances de - — — , -^ — — (loc. cit., u. 3g). Réciproquement, on peut égaler les différences

Z Zti Z Zq

à des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de X, et de Xj. Soil alors

— =consl.

l'intégrale générale du notre équation différentielle. Si nous divisons le numé-

f o rateur et le dénominateur par zP, le> quotients — et ^ seront des polynômes

entiers par rapport aux différences "^ -— —> — ; ce seront donc des séries

z Zo z Zo

ordonnées suivant les puissances croissantes de X, et de Xo. Soient S| et S, ces séries, nous aurons

zP zi-

et notre intégrale générale s'écrira

S,

— = con^l.

On

Supposons d'abord que notre point singulier soit un nœud dicritique, l'inté- grale générale de l'équation pourra s'écrire

=^ = cousl.

s • \

Donc F^ est une fonction de '—■; elle ne changera pas quand on multi- plie X, et X, par une môme constante A-. Si donc je désigne par Sf et S^ les groupes de termes homogènes de degré/) dans S, et dans Sj, nous aurons

^S'H-A^Sf-t-A^S?-!-... _ S|^S-f-+-S?-...

*s.j-f-/t2S;j-i-/t3S.»H-... ~ Si-HS^+si-H... ■

Le premier membre doit être indépendant de /r.

8o SUR l'intiîgbation algébrique des équations différentielles du premier ordre.

D'autre part, S|, S;, . . . , S^~' doivent s'anauler ain^i que S',, S^, . . . , S'^~\ tandis que S^' et S^ sont différents de zéro ; et en effet les courbes /+ Co = o doivent avoir au point considéré un point multiple d'ordre À à tangentes dis- tinctes.

On aura donc, quel que soit A,

/ _ k'''S)-hk'>-->-^S]+'-h...

ou, en faisant tendre k vers zéro,

f=ȱ.

Ainsi la fr'oclion rationnelle - est le quotient de deux polynômes entiers

homogènes d'ordre 1 en X, et Xo.

Considérons maintenant un nœud monocritique. L'intégrale générale est

alors de la forme

\^,

— i- = consi.

2

Le rapport^ ne doit donc pas changer quand on change X, et X._, en X,/»'

et XjAl*. Soit alors

A\'i"x;j

un terme quelconque de l'une des séries S, ou S..; ce terme se changera en

A X'" X" k"''''^"V- •

je dirai qu'il est de la classe m'j-\-na. Soient alors Sf et S^ l'ensemble des termes de classe p de S, et de Sj; nous aurons encore

/ _ AS| -t- A-Sj-h. . . ç ~ kS'i-hk'-S-i-^... ■

Comme la courbe /■+C-j = û doit présenter l branches de courbe de la forme

passant au point considéré (cf. loc. cit., p. 4-^), les premiers termes, qui ne

s'annuleront pas au numérateur et au dénominateur de la fraction précédente,

seront les termes k'V--'SY'' et /:''^''S''f\ de sorte que nous aurons, quel que

soit /. ,

/_ A:>.tivs;'"'^-H...

SUR l'intégration AI.GÉBRlyliE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 8 1

et en faisant A = o

o g/.[J.v

f

Ainsi la fraction rationnelle - est le quotient de deux polynômes entiers

homogènes d'ordre À en X^J' et X'.

Il reste à exiiiniuer le cas d'un col (jui est un peu plus compliqué.

Si l'intégration algébrique est possible, les séi ies \ , et X., existent certaine- ment encore; l'intégrale générale devient

\'i \., = consl.

Donc ^ ne change pas (piand on change X, en A'X, et Xj en /.^'^Xj. Un

terme en X'" X" est alors multiplié par !:"'-''-'"-'■ et peut êlre appelé de classe mv — «|U, seulement il peut y avoir des termes de classe négative. Soit encore

V kl' sr;

V /,/' s/;

^ ■ -

F.e numérateur, comme le dénominateur, sont développables (pourles valeurs de A- voisines de i) suivant ies puissances positives ou négatives de /. ; il eu est de même de

/2/,/'S{,'-9VavS/,'=o.

Cette fonction de A devant être iiicntiqiiement nulle, ne peut l'être (|ue si tous les coefficients du développement sont nids; on a donc

/ = El ? S{J '

en choisissant /) de telle f.içon que S(' ne soit pas identiqucmi'nt nul. Seule- ment ici S(' et S;' peuvent contenir une iulinité de termes. Ce ne sont plus des polynômes, ce sont des séries.

Soient à nouveau M, un n(cud quelconque, /j-i et v, ses entiers caractéris- tiques, X|, X,' les deux séries X, et Xo correspondantes. Nous pourrons tou- jours former ces deux séries à partir de l'équation différentielle. Ces deux séries convergeront dans un certain domaine D, ; soit ensuite A, un domaine plus étendu que D,; nous pourrons encore définir dans ce domaine ies deux fonctions X| et X ' par le procc'dé de la continuation analytique.

H P. — 111. ■ Il

/V ^<^3

8-2 SUR l'intégkation algébrique des équations différentielles du premier ohdbe.

Soient Mo un second nœud, jjlo et v.j ses entiers caractéristiques, Xj et Xi; les deux séries X, et X2 correspondantes; elles convergeront dans un certain domaine D._, et l'on pourra, par continuation analytique, définir les fonc- tions X'^ et X- dans un domaine plus étendu Aj.

Supposons que A, et A., aient une partie commune; dans cette partie com- mune les quatre /onctions X|, X', X',, X-, seront dcliaies et nous devrons avoir une relation entre

^' = (-xrr. '' ^'=(xf7^-

Dans le cas où l'intégration algéljiique est possible, on vnil quelle est la forme de celte relation ; la fonction - doit être une fonction rationnelle de Z,

d'une part, de Zj d'autre part.

Il faut donc qu'une fonction ratiimmlle de Z, soit égale à une fonction rationnelle de Zj.

Soit Xo, )■(], ^u 11» ]>oint de la partie commune à A, et à Aj ; connaissant nos quatre fonctions X dans cette partie commune, par c(mtiiiuation analytique, nous saurons développer Z, et 2,., suivant les puissances de x — Xg, y — j'o, z — :.„. Soient Z" et Z" les valeurs de Z, et Z.j au point x„, j'o, ^oi nous sau- rons développer Z.j — '/-," suivant les puissances de Z, — Z".

Nous aurons donc la relation cherchée entre Z, et Zo sous une forme où entre une série infinie, mais cela ne nous permet pas encore de reconnaître si l'on peut la mettre sous la forme d'une égalité entre deux fonctions rationnelles.

Introduction i/rs fonctions ftichsicnncs. Considérons d'abord un nœud dicritiquc et supposons que nous.nous donnions : 1" les valeurs remarquables C,, Cj, . . ., Cy; a" le nomlire À; 3" les nombres >., et les exposants y., relatifs aux différents facteurs correspondant aux q valeurs remarquables.

Soit Ma l'un des communs multiples des exposants a,- correspondant à la valeur remarquable Gyt.

Construisons un polygone fuchsien R,, de la première famille et du premier genre, supposons que nous ayons 29 — 2 sommets répartis en (j cycles. Le premier cycle comprendra un seul sommet A, ; le second, le troisième, etc., et l'avant-dernier cycles comprendront chacun deux souimets que j'appellerai A3 et A!,, A;, et A',, ..., A,^ , et A„_|, le dernier cycle comprendra un seul

sommet A^. La somme des angles du /.'*"'° cycle sera ~ et il y aura une fonc-

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premirii ordre. 83

tion fuchsienne qui sera égale à Ca au point A/t. Soit F(Ç) cette fonction fuch-

/

/ •

sienne, égalons-la à — - et écrivons

f . ...

Nous avons vu plus li;iut (jue - devait être une lonclioii rationnelle du rup-

port -^ que j'appellerai Z; nous aurons donc .

F(Ç)=R(Z),

R désignant une fonction rationnelle. Je dis que Z sera une fonction uniforme de Ç.

Si, en effet, F(Ç) décrit un contour fermé, plusieurs valeurs de Z ne pourront s'échanger que si ce contour contienl l'un des points C/i, et si l'on tourne auloui- d'un point Ca et que a^, y.'l, . . ., y.*^ soient les exposants correspon- dants, nous verrons s'échanger, par permutation circulaire, d'une part, ).^ groupes de ct-l valeurs; d'autre part, ')'l groupes de a'I valeurs, etc.

Si Ç décrit un contour fermé, il faut d'abord que ce contour enveloppe un des sommets de Ro, pour que F(Ç) tourne aLilour d'un des points Ca- Si Ç tourne autour d'un sommet, F(Ç) tourne Ma fois autour de Ca, et comme Ma est multiple de tous les exposants y.[. Z revient à la même valeur.

Donc Z est fonction uniforme de ï^. c. q. f. n.

Or Z, pour une même valeur de F(Ç), peut prendre >. valeurs. Considérons donc A polygones fuchsiens congruents à R„, que j'appellerai

K „ , I ! I , .... 1 ! / - 1 .

L'ensemble de ces polygones constituera un polygone fuchsien So- Ce poly- gone So, en associant convenablement ses côtés en paires de côtés conjugués, L'ngendrera un groupe fuchsien dont les substitutions n'altéreront pas Z.

Donc Z est fonciion fuchsienne de t.

La surface du polygone Ro (au point de vue de la géométrie non euclidienne) sera

en prenant pour unité celle du (piadrilatère dont les quatre angles sont nuls. Celle de S,, devra donc être

84 SUR l'intégration algébrique des ÉOUATIONS DIFFÉREfiTIEFXES DU PREMIER ORDRE.

D'autre pari, le nombre des cycles de ^onimets de Sq sera en général

Ce nombre pourrait se réduire si la somme des angles relatifs à un de ces cycles était égale à 27:; on pourrait alors assembler les polygones Ra de façon à faire disparaître ce cycle. Mais cette somme d'angles est égale à

„ "'■

Ml:

oci et Ma étant les nombres a, et Ma lorrespomlanl au cycle envisagé. Mais comme Ma est un commun multiple (/itc/conijiie des jî,-, je jiourrai toujours supposer Ma > y.,.

Nous pouvons donc toujours supposer que le nombre des cycles de Sq est précisément i"/.,.

Quel est le nombre des côtés? Le polygone R^ ,1 2 (y — 2 côtés; quand on y annexe R,, on a en tout 2( zq — 2) côtés. Mais comme R,, a un côté commun avec R| et que celte paire de côtés disparaît, il reste pour Ir polygone Ro+ R|

un nombie de C(Més égal à

li 2<y — > ) — -À .

Annexons encore Rj, nous ajoutons y.q — 2 côtés; mais Rj a au moins un côté commun a\ec Ro+ R|, cela lait une paire de côtés à supprimer et il reste

'S{9.C/ — -l) — 2.2

côtés pour le polygone R,, + R, -|- \\.j. Ce nomlirc doit èlrc diminué si R., a plus d'un côté commun avec R,, -)- R| . En général S,, aura

/.(■>(/ — ■>) ■! X + 2

côtés, si R, n'a rpi'nn côté commun avec R,, + R, + . . . + R,_(. Dans le cas contraire ce nombre déviait être diminué. En général le nombre des côtés sera

À {/q — i } — -AA-i- ■> — 1/1,

h étant un entier positif on nul.

D'après une formule que j'ai ilonnée dans les Acla macfiematica, tome 1 ('),

on a, si 2/! est le nombre des côtés, (/ le nombre des cycles, p le genre du

polygone fuchsien

« -h I — g ^= ^— •

(') Œuvres, t. II, p. l'iy.

SUR l'iNIÉGRATION ALGÉRRIQUE des KQIATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 85

Nous aurons donc ici

OU

9./)

A=X(y-2)-f-2-2x,.

Oi' nous avons trouvé plus haut

^ X, = /.(«; — 2) + 2. On a donc

ip T- /i = o.

Or It'S nombres p et /( sont positifs ou nuls; on a dune

/l = 11, Il = o.

Ainsi le senre du polygone fucltsicn S,, est nul et le nombre de ses côtés

est 2). ((7 — 2)+2.

Il faudrait rechercher maintenant comment sont assemblés les divers poly- gones partiels R^ dont l'ensemble compose So, et comment les côtés de So sont conjugués deux à deux.

Je désignerai par A,,/, et A) ^ les sommets du polygone Ra qui sont homo- logues aux sommets A, = A/_„ et A|= A, „ du polygone Ro-

Considérons alors le côté A, ^/, A!, ^, ou i)ien il coïncidera avec un côté Ai^/jAj^^ du polygone R^, les deux polygones R^ et R/i ayant un côté commun, ou bien ce sera un côté de So, mais alors il sera conjugué d'un autre côté A,,,^A3_a de S„.

Dans l'un et l'autre cas, je dirai que l'indice h eslle conséquent de l'indice ^, et l'indice A Vuntècèdcnt de l'indice //. Chacun de nos ). indices aura ainsi un conséquent et un antéci'ilent.

Consiriérons alors la substitution T, qui change chacun de ces indices en son conséquent. C'est une substitution de À lettres, et si

sont les nonibix's y^, et À/ relatifs à la valeur remarquable C). les À lettres se répartiront en ?i[ groupes de y.\ lellres, . . ., en /.', groupes de y.\ lettres, . . ., et la substitution T| permutera circulairement les lettres de chaque groupe.

Considérous niainlenant le côté A!,^A,,^, il coïncidera avec un côlé Ao^Aj/, de Ra, ou bien il sera un côté de So et sera conjugué du côté A.j/jA,/,.

86 SUR l'intégration ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Dans les deux cas, défiiiissanl les conséquents à un nouveau point de vue, je dirai que h est le conséquent de k.

J'appellerai T, la substitution de ). lettres qui change chaque indice en son conséqucnl.

On définirait de même les substitutions T3. T,, . . . , T,, , qui correspondent aux côtés A|,A'|, A',A^, . . ., A|^_, Aj^ de la même façon que T, et To corres- pondent aux cotés A| A'3 et Aj, A!,.

Les q — I substitutions T^ devront satisfaire à certaines conditions. Nous avons déjà vu quelles sont celles que doit remplir T, et comment les lettres doivent se répartir en groupes tels que T, permute circulairement les lettres d'un même groupe.

Soient mainienant

U, x|, .... xi;,

les nombres a,: et }., relatifs à la valeur C*.

On pourra répartir les X indices en groupes tels que la substitution Ta , T^' permute circulairement les lettres d un même groupe.

Nous devrons avoir >.^ groupes de y.], lettres, ).| groupes de c-l lettres, . . . , ).f groupes de zj lettres (X' = 2, 3, . . . , q — i).

Soient endn

3t^, a^, a^,

^^qy '•(/> .... /.^

les nombres a, et ), relatifs à la \aleur C,.

Les }. indices pourront se répartir en groupes tels que T^ 1 permute circu- lairement les lettres d'un même groupe.

Nous devons avoir >,' groupes de a' lettres, . . . , /.^ grouj)es de c.^ lettres.

Une question se pose alors. Existe-t-il des substitutions T satisfaisant à toutes ces conditions? et par conséquent existe-t-il un polygone So?

Nous avons vu i)lus haut que - devait être une fonction rationnelle de Z = ^

./•_. I'(X„X,) ?-Q(X„X,)'

P et Q étant deux polynômes homogènes d'ordre )..

Soient C/r une valeur remarquable quelconque, Aa et Ba deux constantes telles que Ba^ AaGa. Alors le polynôme

SUR l'intégration ALGÉRRIQl'E DES KQIIATIONS DIFFKBENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 87

devra se décomposer en fadeurs, et l'on aura

(I) A,P-hBxQ = U^ki5...U^Î,

{]/, étant un polynôme d'onli-e X^'.

La question proposée revient alors à la suivante. Peut-on toujours trouver des polynômes P et () saliNfiiisant aux conditions (i)?

Nous disposons des indéterminées suivantes :

1° Les 2>, 4- -î coefficients des polynômes P et Q.

2° Les q constantes A*, d'où l'on déduit les q constantes B/, par les équa- tions Ba= AaCa, li's C/t sont supposés donnés. 3° Les i(>,iH- i) coefficients des facteurs U.

D'autre part, noiis avons à satisfaire aux conditions {\) qui sont des identités entre deux polynômes d'ordre ) .

Chacune d'elles correspond donc à >. + i conditions, cela fait donc en tout q('k-\- i) conditions.

Si donc nous appelons N le nombre total des facteurs U;, de telle sorte que

"V (/.,-<- I) =V à,-hN,

nous avons

!\ -t- 2 X -I- 2 -I- 9 H-V ).,

paramètres qui doivent satisfaiie à q(l + i) conditions ; il nous reste donc

N -H 2 X -I- 2 + (7 -t-^l '-' — <7 ( >- + i)

paramètres arbitraires. Or, en vertu des équations

ql =2^ a,X,, 2/. — N^ (^i— i)Xi= 2,

ce nombre se réduit à 4 + N.

Remarquons que les équations (i) sont homogènes si l'on y regarde :

i" Les coefficients de P et Q comme étant d'ordre ). ;

2" Les constantes A/, comme étant d'ordre 7;

3° Les coefficients d'un fncteui- D, de degié}., comme étant d'ordre 2>,,.

En effet, il est aisé de vérifier qu'en adoptant cette convention les deux membres de (i) sont homogènes d'ordre 2)..

Mais il y a plus, ces équations (i) sont doublement homogènes, je veux dire

8S SUR l'intégration ALGÉBRlQliE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

que, si 1 et r) désignent deux indéterminées, elles ne changent pas quand on change

{■>■) A*, P, Q, U,

en

(3) \ki'. F'ï;'. Or/-. U,Ç'.V--

Adjoignons aux équations (i) d'autres relations en nombre N + 2 entre nos inconnues; je suppose que ces nouvelles relations présentent la même homogé- néité double que les équations (1). c'est-à-dire ne changent pas quand les quantités (2) se changent dans les quantités (3).

Nous avons alors N + 2 -j- q{l, -\- 1) équations homogènes; le nombre total des inconnues est N + 4 + 7(^ ■+ 1) > mais ces équations étant doublement homogènes sont en réalité des équations entre les rapports des coefficients

des A;[P et des A/rQ élevés à la puissance y et des coefficients des U, élevés à la

puissance r-- Le nombre de ces rappoils réellement distincts est seulement

■ iS -!-■.>. -h 7(5. + I).

Nous avons donc autant d'équations (jiie d'inconnues et, comme des équations homogènes ne sont jamais impossibli's, nous pourrons tiiiiJDurs en tirer nos inconnues.

Ainsi si les é(jualions (1) sou! distinctes, les rapports de nos inconnues dépendront de N -|- 2 paramètres arljitraires et nos inconnues elles-mêmes de N + 4 paramètres.

Si les équations (1) n'étaient pas distinctes, les inconnues dépendraient de plus de N -4- 4 paramètres.

Il semble donc que notre prolilème comporte toujours une infinité de solu- tions. Mais il importe d'observer que ces solutions ne sont [las réellement dis- tinctes.

En effet, si dans les polynômes P, (^ et U, on remplace \ , et X., par

aXi^fiX, et Y\,-(-i5X,,

les équations (1) ne cesseront pas d'être satisfaites. Or cette transformation dépend de (|iialix' paramètres x. (3, y, ô. Donc voilà une quadruple infinité de solutions cjui ne diffèrent pas essentiellement les unes des autres. D'autre part, l'équation (i) ne change pas si l'on j change

L'i, U,, Uk, -V*

SIR L INTEGRATION ALGEBRK)l E DES EQLATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 89

en

,a,U|, IJ.-.U,, l^ikLiK, A/-a*'|x*'- . . . ix^"--.

Voilà une transformation qui dépend des K paramètres jx. Comme nous pou- vons opérer de même sur nos q équations (i), cela nous fait autant de para- mètres pi que de facteurs U, c'est-à-dire N. En tenant compte de a, [3, y, i5, cela fait une transformation dépendant de N -+- 4 paramétres.

Nous aurons donc une (N -i- 4)"''''' infinité de solutions qui ne différeront pas essentiellement les unes des autres.

Si donc les équations (i) sont distinctes, le problème ne comportera qu'un nombre fini de solutions essentiellement différentes.

Maintenant, les équations (i) sont-elles distinctes? La considération des fonctiiins fuchsiennrs permet de l'affirmer.

Si. en effi-t. les valeurs n-marquables C* sont données, on pourra construire d'une seule manière le polygone fuchsien Ro ; on pourra ensuite assembler d'un nombre fini de manières / polygones

Ro, H, R),_,

pour former le polygone S„.

C'est parmi les polygones S,, ainsi formés, en nombre fini, qu'il faut choisir ceux qui conviennent à la question. Les considérations qui précèdent montrent qu'il y en aura toujours, mais il ne peut y en avoir qu'un nombre fini.

En résumé, si l'on se donne les valeurs remarquables Ca, si l'on se donne les entiers À et }., assujettis seulemeni aux conditions

À = SaiX„ u/.—^(aj — !)>.,= 2,

lin |iiMiria toujours formi-i- 1p> pulynones P et Q et le polygone Sq et l'on ne pourra le taire que d'un immbre fini de manières.

Extension aux nœuds monorriliques. — Considérons un nœud monocri- tique; soient X, et X._, les deux'séries correspondantes, et soit

Nous avons vu plus haut que — - est une fonction rationnelle de Z dont le numérateur et le dénominateur sont d'ordre ).

-■{=R(Z).

H. P, — III. 12

go SUR l'intégration algébrique des équations DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Soit C/, une valeur remarquable ; lorsque tournera autour de C«, les

l valeurs de Z tirées de l'équation qui précède s'échangeront entre elles. Soit u, un facteur de /-(- C^o, soient )., et a, les deux nombres correspondants. Si ce facteur n'est pas singulier, nous aurons >., groupes de 'a, valeurs de Z, et les

valeurs de chacun de ces groupes s'échangeront circulairement quand — ^

tournera autour de Ca.

Si le fadeur est critique, a, est divisible par /jl, nous avons alors >., — i groupes

de Cf., valeurs de Z et un groupe de - valeurs qui s'échangent circulairement.

Si le facteur est hjpereritique, a, est divisible parv et nous avons >,, — i groupes de a, valeurs et un groupe de — valeurs qui s'échangent circulairement.

Si enfin le facteur est doublement singulier, o., est divisible par p.v et nous avons >., — 2 groupes de a, valeurs, un groupe de — valeurs et un groupe de — valeurs qui s'échangent circulairement.

Formons encore le polygone Ro et formons la fonction fuchsienne F(Ç).

Posons

F(:) = R(Z).

z sera encore une fonction fuchsienne de J.

Le polygone S» correspondant sera formé de À polygones partiels

R„, R,, ..., R,_,.

Le nombri' des cycles de sommets est encore 2),,. Celui des côtés sera

/. (j.q — -1) — 2 À -I- 2 — J. Il , h étant positif ou nul. On en déduit, /) étant le genre de S»,

Revenons aux formules qui, dans la première partie de ce travail, remplissent les lignes 6 à i a de la page 45. Pour chaque nœud monocritique, nous aurons q de ces formules, correspondant aux q valeurs remarquables; additionnons-les il viendra

SUR l'intégration algébrique des équations différkntielles du premier ordre. 91 Nous avons trouvé d'autre pari (p. 4'^)i formule (ô),

on tire de là

/.( 7 — 2)-(- 2 = 2_,'>-h

d'où

2/) -f- A = n,

et comme /J et h ne peuvent être négatifs

/) = A = o.

On définirait comme piérédemmenl les substitutions

11, T;, .... I .y—i.

et pour chacune des substitutions

T,, T.Tt', T.T^i, .... T^T^l,, T,

nous savons comment les ). indices se répartissent en groupes de lettres se per- mutant circulairement. Chacun de ces groupes correspondra d'ailleurs à un cycle de sommets du polygone S,,.

Pourra-t-on toujours former un polygone So satisfaisant à toutes ces cain- ditions?

Nous aurons encore

P et Q étant deux polynômes homogènes d'ordre ),. Nous aurons encore

Cependant, si le facteur U, par exemple, était critique, il faudrait dans le second membre de (1) remplacer U*' par

U'i étant un polynôme homogène d'ordre 11 — i. S'il était hypercritique, il faudrait remplacer U*' par

92 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. et s'il élait doublement siiigulier, il faudrait remplacer U^J par

U'i étant un polynôme homogène d'ordre 11 — 2. De combien d'indéterminées disposons-nous?

1° Des 2/, -)- 2 coeflicients de P et de Q ;

2" Des çf constantes A;;;

3" Des coeflicients des polynômes U, et l]].

Ces coefficients sont au nombre de )i,+ 1 pour un polynôme U,, de Ij pour un polynôme U)- simplement singulier, de )i, — i pour un polynôme U; double- ment singulier.

Le nombre total est doue

^ ( À, -I- 1 ) — -2 =^ Ai H- N — -2,

en appelaut N le nombre total des fartcurs. Nous avons donc en tout

N -i- 2 X H- 7 +^ X,

indéterminées.

D'autre pari, nous avons (j équations (1) qui équivalent à ^(}. + 1) condi- liou^, de sfute qu'il reste

N + 2). — 5FÀ -t-V Xi

paramètres arbitraires. En vertu de l'équalioii

2X,= (7 — 2)X -f-2,

ce nombre se réduit à N -|- 2.

Si donc les équations [i ) sont distinctes, le problème comporte une (N 4- 2)"P'" iulinilé de solutions.

Mais d'une solution on peut en déduire une (N -f- 2)"'"'" infinité d'autres. On peut, en elVet, sans cesser de satisfaire aux équations (i) :

1° Changer en

Xlf et X^

■.\^ et ?\l;

SUR l'intégration ALGÉBBIQIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DL' PR'eMIEK ORDRE. QJ

2° Changer

U,, U,, ..., Uk, ^l: en

;ji,U,, |X,U, >kUk. A^fif'lJ.^' . . .a»j.

Nous n'avons donc qu'un nombre fini de solutions essentiellemenl distinctes. Nous en aurions un nombre infini si les équations (i) n'étaient pas distinctes, mais cela ne se peut pas, puisqu'on ne peut assembler les polygones

Ro- Ri R"a— 1

que d'un nombre fini de manières.

Nou'; arrivons donc à la même conclusion qui/ plus linut : // r a toujours des polygones S„ et il li v en <i jumais (ju'un iionihre Jiiti.

Le polygone Vq. — Nous venons de vnir comment on pourrait construire le polygone fuchsien Ro, ft comment il r\islail un |ioljgone So correspondant à chacun des nœuds t;uil die liliqucs que mmiôcriliques.

Soit G le groupe fuclisien engendré par R„ ; soit g le groupe fuchsien engendré par Su. Le groupe g sera un sous-groupe de (î. C'est un sous-groupe « d'indice /. », puisque la surface (mm euclidienne) de .Su est égale à À fois celle de Ro.

A chacun des nœuds correspondiM ;lin^i un sous-groupe g. Soit F le groupe formé des substitutions communes à tous les sous-groupes g.

Je dis que F sera un groupe fuchsien, c'est-à-dire que F sera un sous-groupe d'indice fini de G.

Nous avons posé plu^ fi^iul

•^ = -F(:)

et nous avons vu que F(Ç) devait être une fonction rationnelle de

Z dans le cas d'un nœud dicrllique et de

X,

- rxry

dans le cas d'un nœud monocrilique.

Soit alors A" le nombre des nœuds et soient

Z,, Z., ..., Z/- les diverses fonctions Z relatives à ces divers nœuds.

g\ SUR l'iNTKGRATION At.GÉBRIQUK DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Tous les Z, seront fonctions fuchsiennes de Ç; et F(Ç) sera fonction ration- nelle de chacun des Z,-.

A chaque valeur de F(Ç) correspondra par conséquent un nombre fini de valeurs de Z,, un nombre fini de valeurs de Z.j, . . . , un nombre fini de valeurs de Z*.

A chaque valeur de F(Ç) (ou, ce qui revient au même, à chaque point du polygone Ru), correspondra donc un nombre fini de systèmes de valeurs des Z,. Soit A ce nombre fini. Soient alors R,, R-.,, . . . les différents polygones fuch- siens congruents à R». Soit Mo un point de R,, ; soient M,, Mo, ... les points correspondants de R| , Rj, ....

A chacun des points M, correspondra un système de valeurs des Z,. Soient alors (5) M... M, Ma-,

À points M, correspondant à A systèmes différents de valeurs de Z. Alors si l'on considère un autre point M,, ce point correspondra au même système de valeurs que l'un des points (5), puisque le nombre total des systèmes de valeurs est égal à A.

Nous dirons que deux points M, sont équivalents s'ils correspondent à un même système de valeurs des Z, et que deux polygones R, sont équivalents si les points M, correspondants sont équivalents.

Les substitutions du groupe T sont alors précisément celles qui changent les polygones R, en des polygones équivalents.

On voit que F est un sous-groupe de G d'indice A.

Le polygone Vu, qui engendrera F, se composera de l'agrégation de A poly- gones R, Pt sa surface (non euclidienne) mtb \ fois celle de Ro-

Deux hypothèses sont possibles :

Ou bien le polygone Vu est de genre zéro, alors il existe une fonction fuch- sienne t, telle i|ue tous les Z, et - soient des fondions nilioiinelles de ;.

Ou bien le polygone Vu sera de genre plus graml (pic zéro, et il y iiura deux fonctions ç et n, liées par une relation algébrique et telles que les Z, et - soient fonctions rationnelles de ; et de rj.

Paris, le 7 mai 1897.

SUH

LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

A INTÉGRALES ALGÉBRIQUES (' ).

Comptes rendus de rAccidémie des Sciences, l. 92, p. 698-701 (ai mars 1S81).

Pour rechercher quelles sont les équations différenlielles linéaires dont toutes les intégrales sont algébriques, il l'aul d'abord déterminer les groupes de substitutions linéaires qui ne se composent que d'un nombre fini de substi- tutions. Dans un travail inséré dans les Mémoires Je V Académie de Naples, M. Joi'dan donne une méthode générale pour résoudre ce problème, et il applique sa méthode aux équations des quatre premiers ordres. Connaissant ces groupes de substitutions linéaires en nombre fini, il faut ensuite former les équations différenlielles correspondantes. M. Jordan insiste peu sur ce point. Je désirerais attirer l'attention sur quelques propriétés de ces équations.

Bornons-nous au troisième ordre, pour fixer les idées. Envisageons l'un des groupes découverts par M. Jordan; su[)posons que ce groupe G soit composé de li opérations, qui consistent à changer respectivement x, >', z en

ai J- + bif H- Ci s, a'i X -i- h'iy -+- c'i z, d'iX -r- b",y -+- c"i z ((■ = I, •.>,.. ., n).

Posons

l'(?.^)=-.^"&tl-' ".(^V) =

Soient A„ B„ C„ A], B; , C) , A;', BJ, C;' des quantités proportionnelles à

( ' I Vuir aux Notes.

96 SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRKS A INTKGRALES ALGÉBRIQUES.

a,, bj, Ci, a'-, b\ , cj , a], b], c] et telles que leur délerminant soil égal à 1 ;

A, B, C,

a; b; c;

Soient

.i,=V h/'a,^ + b,t, + c,- a; g + b; -q -4- c-

''^ .Ld \ Ai'f + B/ T, + c- ' A';ç + Bjï) + c;- '=1

=51".

A/ 1 -I- B/ T) -!-c,- a;- e -I- b; ■r\ + c;

, A;'? + BrT|-(-0? A:?^-B;ri^C;'

11 est clair que x et y sont des fondions rationnelles de > et de 0 qui ne changent pas quand on change E et rj en

A,g-t-B,-7i + C.,- A"? + B/-fi + C.;'

Aig + Bl-rj-Kj;

A;'Ç-t-B"ï) + ci'

et que toute fonclion rationnelle de £ el de /; (|ui ne change pas quand on change t el r) en ï, el vi, sera une fonclion rationnelle de x el de r.

Si D est le délerniinant fonclionnel de ./• et de 1' par rapport à ; et à rj, les trois fonctions

rv'L»,

z, = r, ■{ U,

3: = D

se changeront respeclivemenl en

A,- j, -H B,S5+ Gtz-i, A/3| -f- BjS,-;- C,-3:i, A, S] -^ ï^i z^-\- C/ S3

quand ï el r; se changeront en ç, et rj, ( ' ). Posons, pour abréger,

///;,H

le déterminant

(■/.(■'"■ ^/)-'

D

/Hj/J,-*! '-^ '"]/';

D„

D„

ne changera pas quand on cliangera c, et r; en t, et rj,, et sera par conséquent une fonction rationnelle de x el de j'.

(') Cela résulte île l'invariance de x el y par le cliangement de \, f, en ;,. T;, et de l'expres-

d(E„T,,)_ ■

sion du déterminant fonclionnel

o(\,t,) (a';;^-b';t, -t-c^)-'

(J. D.)

StR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINKAIRES A INTEGRALES ALGÉBRIQUES. 97

Il en résulte que

Z = 3,.

sont trois intégrales particulières d'une infinité d'équations aux différences partielles à coefficienls rationnels. Ces équations s'écrivent

(U

r->,„,/,,S; t»,«,/-,S:.

D„

/?ji, />|, m.!, yOa, tïii, />3, «il, /^ sont des entiers positifs quelconques; il est clair que les coefficients des dillerentes dérivées partielles de j sont rationnels en X et en )•. Si l'on fait, en particulier, dans l'équation (i)

elle prendra la forme

//il = II.	/), = 0.
///; = 1 .	/'■; = "■
'"3 = i-	Pi = 0.
l>l;= ■{.	p., = 0,

B:,

dx-'

d'z

dz d.t

BoZ = o.

Les B seront des polynômes entiers en x et y. Si l'on dmine à )• une valeur constante quelconque, on obtiendra une équation linéaire du troisième ordre, dont tous les coefficients seront rationnels et dont les intégrales seront les fonctions algébriques ;,. z-,. :^.

Conséquence. — A chacun des groupes définis par M. Jordan, corres- pondent une infinité d'é(|ualions linéaires du troisième ordre. Dans chacune de ces équations, les coefficienls sont rationnels par rapport à la variable indépen- dante X et à un paramétre arbitraire y. Si l'on considère les trois intégrales Ci, ^2 et z-3 de cette équation comme fonctions de x et de y, ce seront des fonctions algébriques de ces variables, et elles satisferont non seulement à l'équation proposée, mais à une infinité d'équations aux dérivées partielles à coefficients rationnels, à savoir les équations (i).

Je ne me suis restreint au troisième ordre que pour fixer les idées; les résultats sont vrais pour tous les ordres.

H. P.

m.

i3

SUR

L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

PAR

LE MOYEN DES FONCTIONS ABELIENNES.

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 92, p. 913-913 (11 avril 1S81).

Soient F{1, r,), F, (ç, /, ) deux fonctions abéliennes quelconques. Posons .r = F, 7= F,.

3/JF dF, dF, clF ' = Y de -d7;~ df'^,' -^-5-" ^3-13,;

l'équation linéaire

dz dzt dzi dzi

dx dx dx dx

d'-z d'-z, d'-Zj d'- z '

dx'- dx'- dx'- dx'-

d^z d^ z, d'Z, d'Zi

dx' dx'' dx- dx-

qui a pour intégrales

2, ^ — «3,

a pour coetTicients des fonctions abéliennes de ; et de rj, et par conséquent des fonctions algébriques de x et de y. Posons maintenant

''~ Y d\ d\ d\

^ = X/|. t3 = \li, Ç = «log\. r, = tloj,'Y.

rfF

d'où

tt=ZtlaOe ■■"' •!'. t,= Zilabe-" ^», /3=3, J«ie ■"" ■"';

SUR l'intégration des équations liné\ihes par le moyen des fonctions ABÉLIENNES. 99 l'équation linéaire

(■'-)

;	/.	l-i	t.
clz	df,	dl.	dl.
dû-	d.,-	dx	dx
ci'- z	d'-U	d'-l-,	d'-U
dx'-	dj--	dx'-	dx-
d-'z	d-U,	dH,.	dH-i

dx- dx' dx- dx-

cjui a pour intégrales

= t.:^

a ses coefficients algébriques en x et en }'.

Les fonctions abéliennes F et F, permettent donc d'intégrer une infinité d'équations différentielles linéaires du troisième ordre à coefficients algébriques, car l'équation (i) contient un paramètre arbitraire y et l'équatinn (2) eu contient trois, a, b t\ y.

On pourrait se proposer de former toutes les équations à coefficients rationnels qui peuvent s'intégrer par ce procédé, mais ce problème nous entraînerait bien loin: je nie bornerai donc à former les groupes de ces équations. Voici ce que j'entends par là.

Le groupe de l'équation proposée sera le groupe des substitutions linéaires que subissent les intégrales quand x décrit un contour quelconque, et celles de ces transformations qui correspondent à un contour infiniment petit décrit autour d'un point singulier formeront la base du groupe. On arrive ainsi aux résultats suivants :

Premier cas, équation (1). — Soient «,, u <. «3 les trois intégrales, et, supposons qu'on ait convenablement choisi u.^: les opérations qui formeront la base du groupe G cherché seront de la forme

(î/j, u-,, iij. yLiiii -^ [ifUn^- •;iUz. a- m,

T;":i. i'i"->)-

S'il

V a /i points singuliers, on donnera à / successivement les valeurs 1 . 2, . . ., n. Le groupe g^ dérivé des opérations

sera d'ordre fini. Si, en combinant d'une certaine manière les opérations du groupe g, on obtient l'opération dite unité,

100 SUR L INTEGRATION DES EQUATIONS LINEAIRES PAR LE MOYEN DES FONCTIONS ABELIENNES.

en combinant de la même manière les opérations de G on obtiendra la

substitution

(«,, II,, iij. ii, — ri,u3. ((,+ ri(/;i. T'iUj).

Le système des quantités

devra satisfaire à des conditions telles qu'elles représentent un système de périodes d'une certaine fonction abélienne. Telles sont les conditions auxquelles sont assujettis les groupes des équations (i), quand les coefficients de ces équations sont rationnels.

Second cas, équation (2). — Les opérations qui servent de base au groupe G cherché sont de la forme

( H|. Il-,, llj. -J-îtl,. 'j/ï^i. -j', II, ).

et les a,, ,5, et ■/, sont des quantités telles, que l'on puisse trouver deux nombres a et b de telle sorte que le système des nombres

a los

i-,	0,
0,	y / -

puisse représenter un système de périodes d'une certaine fonction abélienne. Il va sans dire que, si, au lieu d'envisager des fonctions abéliennes de deux variables, on avait considéré des fonctions de p variables, on aurait intégré une infinité d'équations du {p -\~ i )''°'' ordre à coeflicients algébriques.

SUR L'IiN'TÉGRATIO.N ALGÉBRIQUE

ÉOUiTIONS LINÉAIRES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 97, p. gS '1-985 (5 novembre i883).

M. .lordan, dans le Journal de Crelle {Bâ 8i) et dans les Mcmoires de r'Académie de A'aples, a montré comment on peut former les groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire. 11 resterait à faire voir qu'à l'aide de tout groupe liai on peut former une équation linéaire à coefficients ration- nels et à intégrales algébriques. J'ai cherché à démontrer ce théorème dans une Note que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie au mois d'avril 1881 ; mais cette Note contient une faute de calcul qui en rend les résultats erronés; je prie donc l'Académie de vouloir bien la tenir pour non avenue jusqu'à ce que j'aie rectifié l'erreur qui y est contenue ('). Depuis, j'ai réussi à prouver qu'à tout groupe fini Y on peut faire correspondre d"une infinité de manières un groupe fuchsien G auquel F est mériédriquement isomorphe, qu'à ces deux groupes correspond toujours untî équation linéaire à intégrales algébriques et que, si l'on pose x =/{z), f{z) étant une fonction fuchsienne engendrée par le groupe G, les intégrales de cette équation sont des fonctions fuchsiennes engendrées par un sous-groupe g de G. Ainsi à un groupe d'ordre fini correspond, non pas ane, mais une infinité d'équations à intégrales algé- briques dont on peut même choisir arbitrairement les points singuliers.

Les fonctions fuchsiennes engendrées par g sont des fonctions rationnelles de X et de y, x el y étant liés par la relation algébrique (i) 0 ('./■. y) = o.

(') Voir aux .Votes.

102 SUR L INTÉGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES.

dont le degré en y est m et dont le genre est p. Si •/ est le groupe de cette équation algébrique, il est itnc seule fois transitif. Quant au genre /j, il satis- fait à la relation

( 1 ) ip ■

n et les y. étant des entiers plus grands que i ; ce qui montre que tous les sous- groupes g de genre/? rentrent dans un nombre fini de types.

Il y a aussi un théorème concernant les intégrales abcliennes de première espèce, engendrées par l'équation (i), et qui tient à ce que le groupe de cette équation est une seule fois transitif.

On peut choisir un système fondanietUal de p intégrales de première espèce, de telle façon que leurs périodes normales soient des combinaisons linéaires à coefficients entiers des périodes normales de Vune d'entre elles.

Cela posé, voici la condilion nécessaire cl suffisante pour qu'il existe une fonction F {x, y), rationnelle en ,r et en )• et satisfaisant à une équation linéaire d ordre h . Il faul qu'on puisse lrou\er m quantités

«1, (Il "m

telles que. si l'on permule rcs m lettres d'après les m substitutions du groupe y et qii'on forme avec ces m permutations un déterminant A, tous les mineurs d'ordre {m — / — i) soient nuls à la fois.

J'ai fait voir (pie, si cela a lieu, ces quantités ai, «j, ..., eim sont certaines périodes do certaines intégrales de première espèce convenablement choisies. Ainsi la condition pour qu'il y ait une fonction F {x,r) qui satisfasse à une équation d'ordre / , c'est qu'il y ait certaines relations enlie les périodes de ces intégrales de première espèce. Cette condilion est toujours remplie pour A^p, car il suffit d'appliquer une remarque de M. Klein pour voir que la dérivée d'une intégrale de première espèce formée à l'aide de la rel;ition (i) satisfait toujours à une équation linéaire d'ordre p à coefficienls rationnels. Dans une prochaine Communication, j'indiquerai, si l'Académie veul bien le permettre, quels rapports ont ces relations entre les périodes avec la réduction des inté- grales abéliennes qui a fait l'objet des rcmarcpialiles travaux de M. Picard.

SLR L'INTÉGRATION ALGÉBRIOL'E

ÉQUATIONS LINÉAIRES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 07, p. iiSp-nqi (-/fi novembre i883)

Lorsqu'il y a, entre la variable et l'intégrale générale d'une équation linéaire à coefficients rationnels, une relation algébrique, et que l'on forme à l'aide de celte relation des intégrales abéliennes de première espèce, les périodes de ces intégrales satisfont à certaines équations algébriques. On peut se demander si ces équations suffisent pour déterminer complètement ces périodes.

Sans aborder ce problème, très général et sans doute très compliqué, j'ai voulu étudier en particulier un exemple simple, et j'ai choisi la résolvante de Galois de l'équation modulaire que l'on rencontre dans la transformation du septième ordre des fonctions elliptiques (degré i68, genre 3). M. Klein a étudié à fond cette résolvante et il a fait voir que, si l'on forme les intégrales de première espèce correspondantes, leurs dérivées satisfont à une équation linéaire du troisième ordre.

J'ai choisi sept périodes, que j'appelle £i, £21 ï.ij ^u s^, ?6, £7 et entre lesquelles on a la relation suivante :

(0 :, -t- £,-4- 33-1- •.,— £5-4- £,;-4- £7= "•

Si l'on considère deux intégrales de première espèce et qu'on accentue les périodes de la seconde intégrale, on aura

(2) £2£'| £|,£i+£:, £| £'3£|-^£j£'| £5£|-i-£|;£| £„£, £,■,£. j

'6 -

£!;£!;■

Nous pourrons choisir une intégrale de première espèce, de telle sorte que

lOJ SUR l'intégration ALGÉBRIOIE DES EQUATIONS LINEAIRES.

et alors nous poserons

On peut former par divers procédés un grand nombre de relations entre ces périodes; mais trois seulement sont distinctes, à savoir

j-ix-i-y— z)=y.

j-'-i-ijry -\- y- — ys = z.

y' -+- yz -T- == -*- .r -+- a^v — ; -I- I = o.

Ces trois équations admettent les huit solutions suivantes

./: = -."•. y = z'""-h -^"'—\. z = -.'"" — -'" — i,

où

■î- . . 1- ., , .

- = cos 1- i sin -^ ) «( = I. '. ). 1. 1, n.

Les huit solutions conviennent et correspondent à huit systèmes de périodes différentes, satisfaisant aux condilinns (i) et ( <).

Il existe aussi une intégrale de pretnièro espèce dont les périodes- sont simplement

Considérons en particulier l'intégrale (/,, dont les sept périodes sont I, o, I). 1. T, — 1. — T — 1.

Elle n'a que deux périodes distinctes, i et T; les procédés de M. Picard per- mettent donc de la ramener aux intégrales elliptiques. Mais on démontre que l'on peut trouver six intégrales

«!■ ",1- "i- "j: "r,! "7

dont les sept périodes sont les mêmes que relies de m,, sauf que ces dernières ont subi une permutation circulaire; ainsi les périodes de f/o. seront

o, n. I. T, — 1. — T — I, i; relies de ».i seront

o. I, T, — I. — T — I. 1, i>. ....

Cela posé, l'intégrale

\ ^ tu -h- S.- It- -\- . . .^- \-, II-,.

si;r l'intêghation ai.gébriqiie iiks équations linéaires. io')

où les A sont des niniihies entiers (nielconf|iies, n aura que deux périodes distinctes et sera rédiiclihle aux intégrales elliptiques.

Nous avons donc un troisième exemple de celte ciiconstance di'jà signalée deux fois par M. l'icard, (|u'il existe des systèmes d'intégrales abélicnnes où Ton trouve une inlinité dinlégrales réductibles aux intégrales elliptiques {Comptes rendus, t. 93, p. i 12(1: 1X81 .

H. r. - m.

SUR L" I.NTÉGRATIO-N ALGÉBRIQUE

ÉOUATIONS LINÉAIRES

LES PÉRIODES DES ICTÉGKALES ABÉLIENNES.

Journal de Mathématiques, 5» série, t. 9, p. jSg-aia (igoS)

I. — Introduction.

Le présent Mémoire est le développpiiienl d'une Note que j';ii présentée à l'Académie des Sciences en iS83 {Corn/>trs rendiis, i. HT, i883, a* semestre, p. 984el 1189).

Quand une fonction ;ilf;élirique satisfait à >ine écjuatiou différentielle linéaire a coeflicienls rationnels, les intégrales abélieunes jouissent de certaines pro- priétés curieuses et il y a entre leurs périodes quelques relations intéressantes.

On est conduit en passant, à ce résultat, i\n'è/a/it donné un groupe Jlni W quelconque, on peut toujours trouver (sauf un nombre lini d'exceptions) (//) groupe Jini de substitutions linéaires isoniorphes à H, et dont les coeffi- cients soient entiers.

M. Frohenius, en 1896 et dans les années suivantes, a publié une série de Mémoires sur les caractères des groupes. Ses résultats peuvent être utilement appliqués à la question qui nous occupe et je crois devoir les rappeler rapi- dement; je profite d'ailleurs de l'occasion pour les rapprocher d'autres résultats obtenus par M. Carlan et pour faire voir combien les théories de ces deux savants mathématiciens s'éclairent niuluellement.

SUR l'intégration AUiEBRIQlE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. IO7

II. — Intégrabilité algébrique des équations linéaires.

Soit

une équation lincaire d'ordre n dont les coefficients P,, sont des polynômes entiers. Supposons que l'intégrale générale de cette équation soit algébrique et soit

l'équalion algébrique qui définit cette intégrale générale. Bien entendu, ce polynôme 9, outre les variables x et >', contiendra n constantes arbitraires d'intégration si l'équation (i) est d'ordre /(.

L'éi|ualion (i) pourrait être intégrée parle procédé général. Posons

où cp [z) est une fonction fuchsionne correspondant au groupe fuchsien G.

Si cette fonction fuchsienne est convenablement choisie (et cela peut se faire d'une infinité de manières), y sera une fonction zétafuchsienne de z.

Soient y,, js, . . -, J'h des intégrales de (i) au nombre de /; et linéairement indépendantes. Ou aura

j, = :,(3), /,= ;,( 3) y„=l„{z),

les Ç étant des fonctions zélafuchsiennes. Quand s subira une substitution du groupe G, les J, subiront une substitution linéaire appartenant au groupe H de l'équation linéaire (i). Le groupe H sera donc isomorphe à G.

Mais ici l'intégrale générale étant supposée algébrique, le groupe H sera (Vordve fini, de sorte (jue l'isomorphisme sera inérièdrique. Parmi toutes les substitutions de G, il y en aura donc qui correspondront dans H à la substi- tution identique. L'ensemble de ces substitutions formera un groupe G' qui sera un groupe fuchsien et qui si'ra un sous-groupe invariant du groupe G. Le groupe G n'est donc pas simple.

Ce groupe fuchsien G' engendrera un système S' de fonctions fuchsiennes; il e>t aisé de voir que le système S' contiendra le système S des fonctions fuch- siennes engendrées par le groupe G; que x et y ou toute fonction rationnelle de .r et de j' est une fonction fuchsienne du système S'. Il en est de même de toute fonction rationnelle de r, y^ , y-,, . . . , y^.

io8 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

J'ai dit que le polynôme 5 contenait, outre les variables .r et _;', des cons- tantes arbitraires d'intégration. Selon les valeurs que l'on attribuera à ces n constantes, trois cas pourront se présenter :

1° Ou l)ien les diverses déterminations de la fonction algébrique y pourront s'exprimer linéairement à l'aide de m d"entre elles, le nombie m étant <«; par conséquent, l'intégrale générale de l'équation (i) n'est pas une combi- naison linéaire des diverses déterminations de la fonction algébrique y ;

2" Ou bien l'intégrale générale de (i) est une combinaison linéaire des diverses déterminations de y. mais le groupe de l'équation algébrique 5(.r, y) := o est plusieurs fois transitif;

3" Ou bien enfin l'intégrale générale de (i) e--! une combinaison linéaire des diverses déterminations de )■ et le groupe de l'équation algébrique 9 ^ o est simplement transitif.

Soient _)-,, j-j, . . ..yn un système de /i intégrales de [i) linéairement indé- pendantes. Posons

Il = a, Kl -H 7. j'. — . . .-T- x„_y„.

Faisons décrire à x un contour ferme quelconque; yi,y-2i ■ ■ ■ ■> J'n sul)lronl une transformation linéaire T, à savoir celle des transfnrniations du groupe H qui correspond à ce contour; les y se changeront donc en )■, , y'.,, . . . , j'j,, et ii se changera en

"'= ^if'i — î'îj^'j— ■•■-^ï/i.>';,-

Peut-il arriver que u soit identique à u? Les v' sont des fonctions linéaires

des)-; on aura donc

"•'= >i.Ki — ,'iîj-î — . . .- ['j„y„.

les {3 étant des fonctions linéaires des <z. Pour que u = m', il faudrait que l'on

^1 ^ .^) • -^^ = ,^:- . . ■ . ^/i = ,-»//•

Cel I peul arriver pour certaines valeurs des a, mais ces relations ne peuvent être satisfaites identiquement, quels que soient les a, à moins que l'on ait

c'est-à-dire que la transformation linéaire T ne se réduise à la substitution identique.

SLR l'intégration ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 1 09

Ainsi u' sera différent de ii , à moins que les y. ne salisfasseiU à un système X de relations algébriques.

Soient T,, T^, . . . , T^ les translVtrmations non identiques du groupe H; elles sont en nombre fini; à chacune d'elles correspond un système de relations algébriques entre les a. Si les a ne satisfont à aucun de ces systèmes, la fonc- tion (/ n'est transformée en elle-même par aucune des transformations T, c'est- à-dire que si x décrit un contour fermé et que u revienne à sa valeur initiale, la transformation T sera identique et toutes les intégrales y,, Vj, ..., y,i reviendront à leurs valeurs initiales.

Or u est une fonction algébrique de x, susceptible de plusieurs déter- minations.

Si, X décrivant un contour fermé, l'une de ces déterminations rc\ient à sa valeur initiale, il en sera de même de y,, y^, . '. . , y„ et, par conséiiuent, de toutes les autres déterminations de u . Donc le groupe de la fonction algé- brique u est simplement transllit.

Nous pouvons donc supposer que les constantes d'intégration aient été choisies de telle sorte que le^ronpc de l'équation algébrique

0( J-. .ri = <) soit simjilenient transitif.

Mais pouvons-nous toujours choisir les x de telle façon que l'intégrale générale de(i) soit une combinaison linéaire des diverses déterminations de f<?

Supposons qu il n'en soit pas ainsi, le nombre des déterminations linéai- rement indépendantes de u = -a;,- )', sera m <i n.

Donc u satisfera à une équation linéaire d'ordre m à coefficients rationnels. D'ailleurs, comme y,, y.,, . . ., y,, reviennent à leur valeur initiale quand u revient à sa valeur initiale (pourvu que les x aient été choisis comme je viens de le dire), les fonctions j', , j'^i ••■i.)'// seront des fonctions rationnelles de a: et de u. Donc l'intégrale gimérale de (i) sera une fonction rationnelle de x et de lintégrale générale d'une équation d'ordre moindre.

Je dirai alors que l'équation (i) est iniprimitive.

Nous supposerons dans ce qui va suivre qur l'équation (i) est primitive et que les constantes aient été choisies de telle sorte que la fonction algébrique y admette n déterminations linéairement indépendantes et que son groupe soit simplement transitif.

La question de l'inlégrabililé algébrique îles équations linéaires est liée à

no SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC.

celle des groupes finis contenus dans le groupe linéaire. M. Klein a résolu complètement la question en ce qui concerne le deuxième ordre. M. Jordan, dans le Tome 84 du Journal de d'elle, puis dans les Mémoires de V Aca- démie de dVaples, a donné une méthode générale pour la recherclie des groupes finis contenus dans le groupe linéaire et appliqué sa méthode au troisième ordre.

Une question se pose toutefois. Etant donné un groupe fini contenu dans le groupe linéaire à n variables, existe-t-il toujours une équation linéaire du ^jième Qj-Ji-e intégrahle algébriquement et correspondant à ce groupe? A cette question, comme on devait s'y attendre, l'on doit répondre affirmativement.

1. Disons quelques mots d'abord de la constitution des groupes discontinus. Je suppose un groupe discontinu dérivé d'un nombre iini ji de substitu- tions fondamentales

S,. S,. ..., S/,.

Ou obtiendra toutes les substitutions de ce groupe en combinant ces p substitutions.

A chacune de ces combinaisons •

Sj'b* b/, . . .,

où Xi, «A, a/,, ■ ■ ■ sont des entiers positifs ou négatifs, correspondra une substi- tution du groupe, mais toutes ces combinaisons ne sont pas toujours distinctes. Il peut y avoir deux de ces combinaisons ((ui seront identiques, auquel cas il y aura une de ces combinaisons qui se réduira à la substitution identique. On aura d<inc un certain nombre de relations de la forme

H) S?'S?'S*''...= i.

Ce sont les relations de structure du groupe.

Toutes ces relations ne sont pas distinctes; elles peuvent toutes se déduire d-'un certain nombre d'entre elles que l'on appelle relations fondamentales. Je renverrai pour plus de détails au paragraphe 3 de mon Mémoire Sur les groupes fuchsien s (Acla mathematica, t. I) (').

Quelles sont pour un groupe fuchsien les relations de structure et en parti- culier les relations fondamentales? Je me bornerai à rappeler le résultat que j'ai obtenu à la page i6 du Mémoire cité. Décomposons le demi-plan en polj-

(') Œuvres de H. PoiNCAnK, t. II, p. 109.

SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. I I 1

gones générateurs Rq, R,, . . ., H^, ... ; à chacun des côtés de Rq correspondra une substitution du groupe fuchsien, de telle sorte que les substitutions qui correspondent à doux côtés conjugués soient inverses l'une de l'autre. A chaque côté de Ry nous ferons correspondre la même substitution qu'au côté correspondant de F^o-

Décrivons un contour jermi' qui traverse nécessairement les régions Ri , Rj, . . . , R/, et en sort par les côtés C| , C.2, . . ., C/, auxquels correspondent les substitutions S, , So, . . ., S/,; nous aurons alors

S, Sî . . . S/, = I,

et nous oi)tiendrons ainsi toutes les relations de structure du groupe.

Pour obtenir toutes les relations fondamentales, il suffira de décrire des contours fermés infinitésimaux autour des divers sommets de R,,.

Les divers sommets d'un même cycle donneront d'ailleurs la même relation, de sorte qu'il y aura autant de relations fondamentales que de cycles.

Appliquons cette règle à un groupe fuchsien du genre o. Soient

Xq Xl «2 . . . 'J.p ^/,-t-i ^-i/i .5/7—1 • • ■ |-':i i-*! -*0

les 2/j -\- 2 sommets du polygone Ro- Le côté a/a,^., :;= C, sera conjugué du côté (3,p,_^i=G', et la substitution S, transformera C, en G). Les sommets formeront /j -+- -i cycles, à savoir

et je supposerai que les sommes des angles des sommets de ces cycles soient respectivement

■l T. ■> -K l -

II., Il,, ///,+ ,

Alors les relations fondamentales correspondant à ces différents cycles seront

(4) S2«=(S,Sô')".= (S.,S7i)"= = ...= (S,,S;:l,, )'V=s;'"'=i.

Cela posé, quels rapports y a-t-il entre les relations de structure de deux gLoupes isomorphes? Il est clair que si l'isomorphisme est holoédrique les relations seront les mêmes; mais si l'isomorphisme est mériédrique l'un des deux groupes aura toutes les relations de structure de l'autre et en admettra, en outre, encore d'autres. Réciproquement, cette ccmdition est suffisante pour que les deux groupes soient mériédriquement isomorphes.

Cela posé, soit H un groupe d'ordre fini contenu dans le groupe linéaire;

ir2 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

supposons que ce groupe soit dérivé de /> + i subslitulions

So, S] . 05, .... o^,.

Ce groupe étant d'ordre fini, une quelconque de ses subslitulions sera d'ordre liai.

Ce sera le cas, en particulier, pour les substitutions

^0- '^ 1 *^o ' '-•e '-' 1 ^ jf '-' fi- i • ^/j •

Il existera donc des entiers Ho, «i. . . -, "/j+i. tels que {:,bis> Sï" = ^ s , s „ I )". = ( S, Sy I )"' = ...= ( S/, S;;! , )";- = ( S- 1 )'>- . = i .

Ces relations ne seront d'ailleurs pas les seules relations de structure du groupe H.

Cela posé, nous pouvons construire un polygone l'uchsien R,, de genre o, de telle façon que les sommes des angles des sommets des différents cycles soient respectivement

Soit G le groupe fuchsien correspondant. Ses substitutions fondamentales

S,i. S|, S/, satisferont aux relations (4) qui seront ses seules relations

fondamentales.

Donc le groupe H admettra les mêmes relations de structure (jue G et encore d'autres; donc H est mériédriquement isomorphe à G. 11 existera donc dans G un sous-groupe fuchsien G' formé des substllutions de G auxquelles correspond dans H la substitution identique.

D'un autre côté, reportons-nous au ])aragrapiii' ;> du Mémoire : Su/ ies funclions zétafuchsienni's [Acln tiinihciiKilicn , l. \ ) (' ), nous verrons que. le groupe G étant de l,i première famille et le f;ioupe II contenu dans le groupe linéaire à n variables étant isomorphe à G, nous |)ouvt)ns construire /; fonc- tions zétafuchsiennes

r,(;). r,i;i î„(3i

qui subissent une substitution linéaire du groupe II (piund la variable ; subit la substitution correspondante du groupe fuchsien G. Ces fonctions Ç sont en même temps des fonctions fuchsiennes admellant le groupe fuchsien G'. Si donc on pose

(') UEin'ies de 11. I^uincabi:, t. II, p 4".

SUR l'iNTRCHATION ALGÉBRIQIE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. Il3

y va satisfaire à une relation algébrique

(2) 0(,/-.j') = n

et à une équation différentielle d'ordre /; à coelTicients rationnels.

Ainsi, à la question posée plus haut, on doit faire une réponse affirmative; on peut même remarquer qu'elle comporte une infinité de solutions dépendant d'un grand iioniLre d'arbitraires :

1° On peul choisir de plusieurs manières dans le groupe H les substitutions auxquelles on fera jouer le rôle de

^Oi ^1: ^2, • • • 1 '^Z' '

2" Il Y a une infinité de polygones R» de genre o et de ayj + a sommels tels queles sommes des angles des différents cycles admettent les valeurs(5). 11 reste encore/; — i arbilraires, et c'est ce que je puis traduire en disant que je peux choisir arbitrairement les /? + 2 points singuliers de la fonction algébrique définie par l'équation {2) ou, ce qui revient au même, ceux de l'équation linéaire ( i ).

Soit m le nombre des déterminations de >', ce sera en même temps le degré en y de l'équation 9 =: o et l'ordre du groupe H. Je désigne par rj le genre de la relation (2).

Proposons-nous de calculer q. La surface du polygone Ro sera

=(/

"0 "I "/)+l ;

Soit R|, le polygone générateur du groupe (î'; sa surface sera évidemment 7.r,/ii I p ... ) = ■'-m i /> — 7 — ) •

On aura, d'autre part,

V -4- 1 — u

2v étant le nombre des côtés de RJ, el [x le nombre de ses cycles. D'un autre C(')té, la surface de Rj, sera

en supposant que la somme des angles des p. cycles soit

m. i5

[I4 SUR l'intégration algébrique DBS ÉQUATIONS LIiNÉAlKES, ETC.

Or V = ,u — I -t- 2(jr, nous pouvons donc écrire pour cette surface L'autre expression peut de même s'écrire

De

(6)

[-'■-l(-k)H'"-'-U~i)}

■2Tt

Considéions un des cycles de Ru dont la somme des angles sera

Soit A l'un de ses sommets; envisageons les différents transformés de A par les substitutions de G.

Considérons ceux de ces transformés qui sont intérieurs à R'j, ou qui sont des sommets de R„ ; ces derniers se répartissent en cycles. Soit B un de ceux qui sont intérieurs à R„. Observons que RJ, peut être décomposé en m poly-

gones congruents à Ro et que j'appellerai

R,„-,

(7) Ro, H,. .

chacun d'eux étant transformé de Ro par une des substitutions de G.

Si nous envisageons ceux de ces polygones qui ont un sommet en B, nous voyons que ce sommet est homologue à A ou à un des sonimels du cycle auquel appartient A et que, parmi ces polygones, il y en aura n, pour lesquels ce sommet seia homologue à A. 11 y aura donc d, subsiitulious de G qiii chan- geront A en B.

Soit maintenant C un transformé de A qtii soit un sommet de lî' et soit — la

somme des angles du cycle auquel appartient C. Parmi les ni substitutions qui

changent R„ en l'un des polygones (- ), il \ en aura alors — ' = |2n qui changent

A en C, ou en un des sommets du même evtle. D'où il suit d'abord que «, est divisible par a/,. Convenons alors de prendre pour le point B

'ik='>r,

=<* = 1,

nous aurons

(8) 2(i,= ,„,

la sommation él.int «'tendue à tous les points tels qiu' B et C. Et, en efl'et,

SUR l'intégration algébrique des équations LINÉAIBHS, ETC. Il5

chacune des m substitutions qui changent R„ en l'un des polygones (7) change A en l'un des points B ou C.

Remarquons que chaque cycle de R„ ne devra être représenté qu'une fois

dans la somme ^ 3/,, même si plusieurs points C appartiennent à ce cycle.

Toutes les considérations (jul précèdent et, en particulier, les relations (d) et (8) s'appliqueraient à un sous-groupe (juclcoïKiiie de G. Mais il y a ici quelque chose de plus, car G' est un sous-groune invariant.

Il en résulte qu'une substitution quelconque de G change R|, en un polygone équivalent. Reprenons alors notre point A et ses transformés B et G. Soient C et G' deux de ces transformés appartenant à deux cycles différenls de R'„.

Il y aura une substitution de G qui changera G en C. Soit -^ et -^ la somme

des angles des deux cycles correspondants. Qu'est-ce que cela veut dire? Gela veut dire que, parmi les substitutions de G', il y en aura une qui, au point de

vue non euclidien, pourra être regardée comme une rotation d un angle — autour de G; donc, le sous-groupe étant invariant, la rotation d'angle — autour de G' devra appartenir à G' ; de même, la rotation d'angle ^ autour de C devra appartenir à G'. Gela n'est pussible qur si y. ^= y.' .

Supposons niaiiileuanl cpie l'un des transformés de A soit un point B. Alors,

la rotation d'angle -^ autour de B appartiendra à G'; mais comme B est intérieur

au polygone générateur de G', cela n'est possible que si celte rotation se réduit à la substitution identique, c'est-à-dire si a = i . Deux cas seulement sont donc possibles :

i" Ou bien aucun des Iransforniés de A n'est intérieur à R'„ ; dans ce cas, tous les y.ii sont égaux enli'e eux, de même que tous les 3a'. s' /•'( est le nombre des cycles correspondants, ou auia

m riiki

et, pour les cycles correspondants,

1" Ou bien quelques-uns des tr.insformés de A sont intérieurs à Ru, tous les

ii6 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

a sont égaux à i , de sorte qu'on a, pour les cycles correspondants,

I(-é) = »-

Nous distinguerons donc parmi les cycles de Pio, c'est-à-dire parmi les termes du premier membre de (6), deux cas :

ans le premier cas, ou ù/,^=-r-, x/, ^ , on aura, en étendant la

' ' A", ni

sommation aux cycles correspondants de Rj,,

2('-ij-"'('-'i) = S-'"'

2° Dans le second cas, où 2^=1. [5a = /?,, on aura

2(-i)-'"('-;);) = !"-'" = f;-'"-

Or, la relation (6) peut s'écrire

--"-2[2('-i)-"'('-^)] = ''^-'^^

nous aurons donc

(9) '"[-^^^2("-;i)]=-^-'^-'-'

les p étant des entiers.

Discutons celle relation à laquelle nous aurions peut-être pu parvenir plus rapidement par des considérations sur la division régulière des surfaces de Riemann.

Dans le cas de 1/ = o, le second membre sera négatif et nous devrons avoir

2(-s)<»-

Dans le cas de y = i , le second membre sera nul et nous devrons avoir

Dans le cas de 1/ l> i , le second membre sera positif, mais comme m est un entier plus grand (jue i . nous devrons avoir

En tout cas ^(1 — — ) est limité; les ^k sont des entiers; nous pouvons

SUR I.'lNTÉGRATlON ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. I IJ

laisser de côlé les termes pour lesquels Pa = i et ci'ii sont nuls. Donc p^ est au moins égal à i , de sorte que i — ,,- est compris entre - et i .

?

Soit p le nombre des termes do la somme ^ ( i — ^ ) i on aura

Dans le cas de q = o, on aura donc

c'est-à-dire p i^ i , 2 ou 3. D'autre |i.irt,

Donc 0 =: 2 ou 3. Si p ^ 2, on a

■2

— ) m

équation qui n'admet d'autre solution que si l'on observe que l'équation (8) exige

Si 0 = 3, on a

qui admet comme solutions

i;-^i^i>''

On retrouve ainsi les groupes connus de Klein et on n'en trouve pas d'autres. Dans le cas de ^ = i , on a

'>20-s)>'i?

d'où p = 3 ou 4. ce qui donne les solutions connues

pi = 2, p,= 3, [i3=fi; Pi = 'i, l^î=P3=4,

Dans le cas de cy > i, on aura

<? + ■>!

11» SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQDATIONS LINEAIRES, ETC.

et p > 2 ; avec

2i

■iq

d'où

(d'où d'abord p > 2). Or

d'où

iq — 2 ■^ I

h '-'

„ ,, . x^ I 0

[i* <«(. d ou Z.Tr > —^

^" I-'A- '''

2 7 — 2 -)- p ,

— < p — 2,

m

ce qui donne une limite inférieure de m.

Or, nous avons vu plus haut que (3/, est un diviseur de m et égal à ^7 > notre

A,

équation peut alors sérrire

7 ki-~ iq — 2 = »i ( ? — 2 ).

Soient (î, le plus grand des ^a et S la somme de tous les autres^) on pourra

écrire

127 — 2 „

c 1 • I ■ 2 — '

et, comme Î5 est au plus égal a ^— — )

■ I 27 — 2 . ? — 3 [i, m 2

et, a fortiori, puisque (3, <; w,

2? — » ^ ? — 3

Si p > 3, celle relation limitera [3, et, par conséquent, lous les autres [Sj ; j'ajoute qu'elle limite p, car elle donne

P — 3 < 2 7 — I ,

puisque |3|5 2.

Si p = 3, on ne pourra avoir (3;,=:|33=: 2, auquel cas on aurait S = 1 et,

par conséqucnl,

I 27 — 2

^L é O

Le cas le plus défavorable est donc

P= = 2, i33;=3,

SUR 1,'lNTÉGR ATION AI.GEBKIOltE DES EQl ATIONS LINEAIRES, ETC.

d'où

On a donc el, par conséquent,

^-6